小波分析的背景及理论基础

背景及理论基础

小波分析是一种在Fourier分析基础之后发展起来的，利用了Fourier分析的思想。这里先介绍一下关于小波分析的详细的背景。

1.Fourier变换及其改进

首先，这个up主讲的很好。Fourier变换
（关于这个变换是啥，学过高数都应该知道。不行，可以百度Fourier变换。）
这是一种全新的思想，在当时的科学界激起了很大的波动，它首创性地为人们提供了一个观察、了解时（空）域信号的新视角——频域分析法，（在时域里面是y关于x的函数，在频域里面，是振幅关于频率的函数，这个上面那位up主有说，终于有个人给我说清楚了。）即在时（空）域无法观察到的信号，往往在频域会变得清晰可辨。信号f(t)的Fourier变换和逆变换分别为（关于这两个公式的推导，up主给出了详细的过程，咋感觉写的有点像给他在推广！不过，他说的不错，确实用心了。）
$\qquad\qquad\qquad F(\omega)=\int_{t\in R}f(t)e^{-i \omega t}dt$
$\qquad\qquad\qquad f(t)={1 \over 2\pi} \int_{\omega \in R}F(\omega)e^{i \omega t}d\omega$
Fourier变换在频域有很好的定位效果，但是，Fourier变换无法反映出某个频率分量发生在时域的哪个时刻，即Fourier变换无任何时域定位功能。即Fourier变换可以确切地告诉人们某个信号是否包含特定的频率分量，却无法说明该频率分量究竟发生在哪个时间段，它只适合处理平稳信号，不适合非平稳信号。
由于还需要把时间信息考虑入内，Gabor在1946年提出了Gabor变换，进而又发展为短时Fourier变换(STFT)（或加窗Fourier变换）。
关于STFT,有一个Heisenberg测不准原理，在时频分析中，要想取得高的时间分辨率，就必须牺牲频率分辨率，反之亦然。当窗口函数选择为Gaussian函数时，是比较合理的。并且，还有一个问题，就是这个窗口大小是固定的，一旦确定不能按需改变，往往效果不理想。还有一个缺陷是无论如何离散化其变换核$g(t)e^{i\omega t}$,都无法得到一组正交基。由于以上三个原因，进而引出小波变换。

2.小波框架理论

2.1 框架的泛函理论基础

（下面这段话主体摘自小波变换与图像处理这本书，中国科学技术大学出版社，倪林编著
部分内容是我本人的理解）（部分符号我的打法可能不符合标准符号，LaTex不怎么熟练，不好意思。）（关于希尔伯特空间，即Hilbert空间，单射，看我的上一篇文章。）
假设{$x_m$}$_{m∈N}$为 Hilbert空间H上的一个序列,N为可数指标集.对任意x∈H,我们希望可以将其分解为由{$x_k$}$_{k∈N}$序列表示的形式.因此,定义分析算子
$\qquad\qquad T:H→L^2(N),(Tx)(m)=<x,x_m>$
T为 Hilbert空间H到空间$L^2(N)$的映射.$L^2(N)$是有限能量函数空间.为了重构H空间中的x,T须是单射。（这里只要单射就好了，像集在原像里面可以找到就好，找到了一定是单一的，但可能找不到。）
为了保证重构过程的稳定性,我们希望分析算子为连续、有界的情形。（这里我不懂原因）因此,我们定义如下Bessel序列:
如果存在B<+∞,使得对于所有的x∈H,有
$\qquad\qquad \sum_{m \in N}|<x,x_m>|^2\leq B||x||^2$
称$x_m$构成的序列{$x_m$}$_{m\in N}$为Bessel序列.为了保证x∈H能被准确重构,我们要求 Hilbert空间中的{$x_m$}$_{m\in N}$为 Bessel序列,这样也就保证了T为投影到$L^2(N)$空间的有界算子.在此基础上,我们定义重构算子
$\qquad$T*$:L^2(N)→H$,T*$(\{c_m\}_{m \in N})=\sum_{m \in N}c_mx_m$
其中,$\{c_m\}_{m \in N}$为$L^2(N)$空间中的一个向量.重构算子T*为$L^2(N)$空间到 Hilbert空间的映射。
重构算子T*和分析算子T互为对偶算子,在此基础上我们定义框架算子
$\qquad$S=T* T:H→H,$\quad Sx=\sum_{m \in N}<x,x_m>x_m$
易知,S为 Hilbert空间H中的一个映射。

2.2 框架的定义

假设{$x_m$}$_{m∈N}$为 Hilbert空间H上的一个序列,N为可数指标集.如果存在常数0<A<B<+∞,使得
$\qquad\qquad A||x||^2\leq \sum_{m \in N}|<x,x_m>|^2\leq B||x||^2$
那么称{$x_m$}$_{m∈N}$为H的一个框架，A,B分别是框架{$x_m$}$_{m∈N}$的下界、上界（一般约定为下确界和上确界）。框架边界是刻画框架的重要参数，直接影响着框架算法的收敛性。当A==B时，称框架
{$x_m$}$_{m∈N}$为紧框架。在信号重构过程中，只有当A=B，即为紧框架时，才有很好的收敛性。

3.小波框架

小波框架，在某些场合又称为小波基，它是在小波变换的基础上发展而来的一种特殊的框架，一般为无限维框架。根据框架理论，小波框架看成是由一个母函数经过平移和膨胀作用（即伸缩和平移作用）后得到的一系列函数。膨胀算子使小波能够根据信号的不同特性，在不同尺度下，对信号进行分解。获得良好的信号局部时频特性，这也正是与Gabor框架相比，小波框架表达信号的优势之一。另一优势是它具有位移不变性。