洛谷 P4378 —— 树状数组求逆序对

题意：
求冒泡排序算法的“趟数”
思路：
一趟冒泡排序可以可以还原一个数的一个逆序对，那么我们需要求出一个数最多的逆序对个数就是冒泡的趟数。
拿样例来举个例子：

5
1
5
3
8
2
有逆序对（5,3）(5,2)(3,2)(8,2)  其中逆序对最多的是 2
第一趟冒泡以后 变成 1 3 5 2 8 消除了(5，3)和(8，2)
第二趟冒泡以后 变成 1 3 2 5 8 消除了(5，2)
第三趟冒泡以后 变成 1 2 3 5 8 消除了(3，2)

除了朴素求逆序对，常见的求逆序对主要有两种方法。

1. 归并排序求逆序对
2. 树状数组求逆序对

此题用归并排序的方法无法确认最多的逆序对个数（也可能存在，但是我不会…）
所以采用树状数组求逆序对，顺便记录一下树状数组求逆序对的原理：
众所周知，树状数组主要是用来维护前缀和，所以我们要把求逆序对的问题转换成一个前缀和问题。
步骤：

1. 先将数列排序
2. 然后按原序列的顺序，把数列中的数插入到树状数组中。在插入数的时候，将已经插入的数所在的位置 $i$ ，打一个标记值 设$bk[i] = 1$，每次拿已经插入的数字个数 $tot$ - $bk[]$ 的前 $i$项和 把其中的差累加就是 逆序对的个数。
   拿样例来举个例子：
   

• 第一次插入 $1$ ，在下标 $1$ 下面打个标记 1，共插入$tot = 1$个数，前 $1$ 个数的前缀和为$sum = 1，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第二次插入 $5$ ，在下标 $4$ 下面打个标记 1，共插入$tot = 2$个数，前 $4$ 个数的前缀和为$sum = 2，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第三次插入 $3$ ，在下标 $3$ 下面打个标记 1，共插入$tot = 3$个数，前 $3$ 个数的前缀和为$sum = 2，tot - sum = 1，ans += 1，ans = 1$

• 第四次插入 $8$ ，在下标 $5$ 下面打个标记 1，共插入$tot = 4$个数，前 $5$ 个数的前缀和为$sum = 4，tot - sum = 0，ans = 0$

• 第五次插入 $2$ ，在下标 $2$ 下面打个标记 1，共插入$tot = 5$个数，前 $2$ 个数的前缀和为$sum = 2，tot - sum = 3，ans += 3,ans = 4$

共4个逆序对。
原理：
注：$a[]$是排好序的数列。

因为插入的顺序是原数组的顺序，但是标记按排好序的顺序打的，这完全符合逆序对的定义：假设在原数组中 $a[i]$ 排在 $a[j]$ 前面，我们先插入$a[i],i$ 处打上标记，然后再插入$a[j],j$ 处打上标记， 此时如果$i<j$，$i$ 在 $j$的前面 ，我们统计前 $j$ 个数的前缀和$sum$是可以统计到 $i$ 的，相反如果$i>j$,$i$ 就在 $j$ 的后面，我们就统计不到，所以在 $j$ 前面插入 ，又大于$a[j]$的数就可以和$a[j]$ 构成逆序对。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
using namespace std;
 
const int N = 1e5+7;
int n,tree[N];
int ans;
void add(int k,int num)
{
    while(k<=n)
    {
        tree[k]+=num;
        k+=k&-k;
    }
}
 
int read(int k)
{
    int sum=0;
    while(k)
    {
        sum+=tree[k];
        k-=k&-k;
    }
    return sum;
}
struct node
{
    int val,pos;
}a[N];
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.val < b.val;
}
int main(void)
{
	//freopen("data.in","r",stdin);
    int i,j;
    int b[N];
    while(scanf("%d",&n)==1)
    {
        memset(tree,0,sizeof(tree));
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i].val);
            a[i].pos = i;
        }
        sort(a+1,a+1+n,cmp);
        int cnt = 1;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            if(i != 1 && a[i].val != a[i-1].val)
                cnt++;
            b[a[i].pos] = cnt;
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            add(b[i],1);
            ans = max(ans,i - read(b[i]));
        }
        printf("%lld\n",ans+1);
    }
    return 0;
}