算法學習——數學與簡單DP

1.買不到的數目

題目

小明開了一家糖果店。

他別出心裁：把水果糖包成4顆一包和7顆一包的兩種。

糖果不能拆包賣。

小朋友來買糖的時候，他就用這兩種包裝來組合。

當然有些糖果數目是無法組合出來的，比如要買 10 顆糖。

你可以用計算機測試一下，在這種包裝情況下，最大不能買到的數量是17。

大於17的任何數字都可以用4和7組合出來。

本題的要求就是在已知兩個包裝的數量時，求最大不能組合出的數字。

輸入格式

兩個正整數 n,m，表示每種包裝中糖的顆數。

輸出格式

一個正整數，表示最大不能買到的糖數。

數據範圍

2≤n,m≤1000，
保證數據一定有解。

輸入樣例：

4 7

輸出樣例：

17

分析

裴蜀定理

打表找規律

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << (n - 1) * (m - 1) - 1 << endl;  
    return 0;
} 

2.螞蟻感冒

題目

長 100 釐米的細長直杆子上有 n 只螞蟻。

它們的頭有的朝左，有的朝右。

每隻螞蟻都只能沿着杆子向前爬，速度是 1 釐米/秒。

當兩隻螞蟻碰面時，它們會同時掉頭往相反的方向爬行。

這些螞蟻中，有 1 只螞蟻感冒了。

並且在和其它螞蟻碰面時，會把感冒傳染給碰到的螞蟻。

請你計算，當所有螞蟻都爬離杆子時，有多少隻螞蟻患上了感冒。

輸入格式

第一行輸入一個整數 n, 表示螞蟻的總數。

接着的一行是 n 個用空格分開的整數 Xi, Xi 的絕對值表示螞蟻離開杆子左邊端點的距離。

正值表示頭朝右，負值表示頭朝左，數據中不會出現 0 值，也不會出現兩隻螞蟻佔用同一位置。

其中，第一個數據代表的螞蟻感冒了。

輸出格式

輸出1個整數，表示最後感冒螞蟻的數目。

數據範圍

1<n<50,
0<|Xi|<100

輸入樣例1：

3
5 -2 8

輸出樣例1：

1

輸入樣例2：

5
-10 8 -20 12 25

輸出樣例2：

3

分析

首先我們必須要明白兩隻螞蟻相撞掉頭可以看作時一隻螞蟻穿過了另一隻螞蟻，因爲相撞之後兩隻螞蟻都感冒了，掉不掉頭其實無所謂，畢竟都感冒了，這樣的話這題就簡單多了。我們先不考慮特殊情況，先來看看一般情況：

第一隻螞蟻不管方向朝哪裏，只要它右邊的螞蟻向左走就可能碰撞感染，同樣，第一隻螞蟻左邊的螞蟻只要朝右邊走也可能被感染，這樣就很容易得到ans=right+left+1ans=right+left+1。這裏leftleft表示左邊螞蟻向右走的數量，rightright表示右邊螞蟻向左走的數量，11是指第一隻螞蟻本身。

還有一種特殊情況，就是當第一隻螞蟻向左走的時候，如果第一隻螞蟻左邊沒有向右爬行的螞蟻，由於爬行速度相同，所以不管第一隻螞蟻右邊有多少向左爬行的，其右邊的螞蟻永遠不可能被感染。同理，當第一隻螞蟻向右走的時候，如果第一隻螞蟻右邊沒有向左爬行的螞蟻，其左邊也永遠不可能感染。

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

int n,p,l,r;  

int main()
{
    cin >> n;
    cin >> p;
    int x;
    for(int i = 1;i < n;i++)
    {
        cin >> x;
        if(abs(x) < abs(p) && x > 0) r++;
        if(abs(x) > abs(p) && x < 0) l++;
    }
    if((p < 0 && r == 0) || (p > 0 && l == 0 )) cout << 1 << endl;
    else cout << l + r + 1 << endl;
    return 0;
}

3. 飲料換購

題目

樂羊羊飲料廠正在舉辦一次促銷優惠活動。樂羊羊C型飲料，憑3個瓶蓋可以再換一瓶C型飲料，並且可以一直循環下去(但不允許暫借或賒賬)。

請你計算一下，如果小明不浪費瓶蓋，儘量地參加活動，那麼，對於他初始買入的 n 瓶飲料，最後他一共能喝到多少瓶飲料。

輸入格式

輸入一個整數 n,表示初始買入的飲料數量。

輸出格式

輸出一個整數，表示一共能夠喝到的飲料數量。

數據範圍

0<n<10000

輸入樣例：

100

輸出樣例：

149

分析

代碼

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,res;
    cin >> n;
    res = n;
    while(n >= 3)  //res 最後的飲料，n ： 現在有蓋子的飲料
    {
        res += n / 3;
        n = n / 3 + n % 3;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

4.揹包問題

題目

有 N 件物品和一個容量是 V 的揹包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的體積是 vi，價值是 wi。

求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。
輸出最大價值。

輸入格式

第一行兩個整數，N，V，用空格隔開，分別表示物品數量和揹包容積。

接下來有 N 行，每行兩個整數 vi,wi，用空格隔開，分別表示第 i 件物品的體積和價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大價值。

數據範圍

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

輸入樣例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

輸出樣例：

8

分析

代碼

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N],a[N],w[N];

int main()
{
    int N,V;
    cin >> N >> V;
    for(int i = 1;i <= N;i++)
        cin >> a[i] >> w[i];
    for(int i = 1;i <= N;i++)
        for(int j = V;j >= a[i];j--)
            f[j] = max(f[j],f[j - a[i]] + w[i]);
    cout << f[V] << endl;
    return 0;
}

5.摘花生

題目

Hello Kitty想摘點花生送給她喜歡的米老鼠。

她來到一片有網格狀道路的矩形花生地(如下圖)，從西北角進去，東南角出來。

地裏每個道路的交叉點上都有種着一株花生苗，上面有若干顆花生，經過一株花生苗就能摘走該它上面所有的花生。

Hello Kitty只能向東或向南走，不能向西或向北走。

問Hello Kitty最多能夠摘到多少顆花生。

輸入格式

第一行是一個整數T，代表一共有多少組數據。

接下來是T組數據。

每組數據的第一行是兩個整數，分別代表花生苗的行數R和列數 C。

每組數據的接下來R行數據，從北向南依次描述每行花生苗的情況。每行數據有C個整數，按從西向東的順序描述了該行每株花生苗上的花生數目M。

輸出格式

對每組輸入數據，輸出一行，內容爲Hello Kitty能摘到得最多的花生顆數。

數據範圍

1≤T≤100,
1≤R,C≤100,
0≤M≤1000

輸入樣例：

2
2 2
1 1
3 4
2 3
2 3 4
1 6 5

輸出樣例：

8
16

分析

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 110;

int a[N][N],f[N][N];

int main()
{
    int T,r,c;
    cin >> T;
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&r,&c);
        for(int i = 1;i <= r;i++)
            for(int j = 1;j <= c;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
        //DP
        for(int i = 1;i <= r;i++)
            for(int j = 1;j <= c;j++)
                f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1]) + a[i][j];
    printf("%d\n",f[r][c]);
    }
    return 0;
    
}

6.最長上升子序列

題目

給定一個長度爲N的數列，求數值嚴格單調遞增的子序列的長度最長是多少。

輸入格式

第一行包含整數N。

第二行包含N個整數，表示完整序列。

輸出格式

輸出一個整數，表示最大長度。

數據範圍

1≤N≤1000，
−109≤數列中的數≤109

輸入樣例：

7
3 1 2 1 8 5 6

輸出樣例：

4

分析

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1010;

int f[N];
int a[N];

int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    
    //開始DP
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;j++)
        {
            if(a[j] < a[i])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
        }
    }
    int res = 0;
    for(int i = 0;i <= n;i++)
        res = max(res,f[i]);
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

7.地宮取寶

題目

X 國王有一個地宮寶庫，是 n×m 個格子的矩陣，每個格子放一件寶貝，每個寶貝貼着價值標籤。

地宮的入口在左上角，出口在右下角。

小明被帶到地宮的入口，國王要求他只能向右或向下行走。

走過某個格子時，如果那個格子中的寶貝價值比小明手中任意寶貝價值都大，小明就可以拿起它（當然，也可以不拿）。

當小明走到出口時，如果他手中的寶貝恰好是 k 件，則這些寶貝就可以送給小明。

請你幫小明算一算，在給定的局面下，他有多少種不同的行動方案能獲得這 k 件寶貝。

輸入格式

第一行 3 個整數，n,m,k，含義見題目描述。

接下來 n 行，每行有 m 個整數 Ci 用來描述寶庫矩陣每個格子的寶貝價值。

輸出格式

輸出一個整數，表示正好取 k 個寶貝的行動方案數。

該數字可能很大，輸出它對 1000000007 取模的結果。

數據範圍

1≤n,m≤50,
1≤k≤12,
0≤Ci≤12

輸入樣例1：

2 2 2
1 2
2 1

輸出樣例1：

2

輸入樣例2：

2 3 2
1 2 3
2 1 5

輸出樣例2：

14

分析

代碼

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>

using namespace std;
const int N = 55,MOD = 1000000007;
int n,m,k;  //n行  m列  k  多少個東西
int w[N][N];  //價值
int f[N][N][13][14];  //  n 行  m列  k個物品  最後一個是 c（因爲要保障從大到小）

int main()
{
    cin >> n >> m >> k;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= m;j++)
        {
            cin >> w[i][j];
            w[i][j]++;   //這裏的++ 是爲了保障c不會出現-1的情況
        }
    
    //初始化
    f[1][1][1][w[1][1]] = 1;
    f[1][1][0][0] = 1;
    
    for(int i = 1;i <= n;i++)
    {
        for(int j = 1;j <= m;j++)
        {
            if(i == 1 && j == 1) continue;
            for(int u = 0;u <= k;u++)  //遍歷第三個k  
            {
                for(int v = 0;v <= 13;v++)  //遍歷第四個c 的值
                {
                    int &val = f[i][j][u][v];  //引用  表示val是f[i][j][u][v]  的一個別名
                    val = (val + f[i - 1][j][u][v]) % MOD;  
                    val = (val + f[i][j - 1][u][v]) % MOD;
                    if(u > 0 && v == w[i][j])
                    {
                        for(int c = 0;c < v;c++)
                        {
                            val = (val + f[i - 1][j][u - 1][c]) % MOD;
                            val = (val + f[i][j - 1][u - 1][c]) % MOD;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    int res  = 0;
    for(int i = 1;i <= 13;i++) res = (res + f[n][m][k][i]) % MOD;
    cout << res << endl;
    return 0;
}

8. 波動數列

題目

觀察這個數列：

1 3 0 2 -1 1 -2 …

這個數列中後一項總是比前一項增加2或者減少3，且每一項都爲整數。

棟棟對這種數列很好奇，他想知道長度爲 n 和爲 s 而且後一項總是比前一項增加 a 或者減少 b 的整數數列可能有多少種呢？

輸入格式

共一行，包含四個整數 n,s,a,b，含義如前面所述。

輸出格式

共一行，包含一個整數，表示滿足條件的方案數。

由於這個數很大，請輸出方案數除以 100000007 的餘數。

數據範圍

1≤n≤1000,
−109≤s≤109,
1≤a,b≤106
輸入樣例：
4 10 2 3
輸出樣例：
2

樣例解釋

兩個滿足條件的數列分別是2 4 1 3和7 4 1 -2。

分析

轉化:

代碼

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010, MOD = 100000007;

int f[N][N];

int get_mod(int a, int b)   // 求a除以b的正餘數 記住這個操作
{
    return (a % b + b) % b;
}

int main()
{
    int n, s, a, b;
    cin >> n >> s >> a >> b;

    f[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n; j ++ )
            f[i][j] = (f[i - 1][get_mod(j - a * (n - i), n)] + f[i - 1][get_mod(j + b * (n - i), n)]) % MOD;

    cout << f[n - 1][get_mod(s, n)] << endl;

    return 0;
}