A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication

1. 背景知識

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年論文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》，與Lipmaa 2012年論文《Progression-Free Sets and Sublinear Pairing-Based Non-Interactive Zero-Knowledge Arguments 》，兩者之間有交叉引用。

Rafik Chaabouni，Helger Lipmaa和Bingsheng Zhang 2012年論文《A Non-Interactive Range Proof with Constant Communication》中，要點爲：

• 基於CRS model的non-interactive range proof.
• 採用Hadamard product來實現parallel證明。
• 證明COCOON2009 [21]論文中的Range Proof爲不安全的。
  

截止改論文發表時，現有的range proof大致可以分爲兩類：

• 第一類： uses a classical result of Lagrange that every non-negative integer is a sum of four squares [13, 7, 21]。【要求相應的group具有unknown order，這將嚴重限制其應用。】
• 基於以下事實：若$a\in [0,H]$，當且僅當有相應的係數$G_i$，使得存在$b_i\in[0,u-1]$使$a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$。要求，$u<<H$且$n$足夠小。接下來證明每一個$b_i$均滿足$b_i\in[0,u-1]$，利用commitment scheme的加法同態性可以verify $a=\sum_{i=1}^{n}G_ib_i$。明顯地有$a\in[0,2^d-1]\ iff\ a=\sum_{i=1}^{d}2^{i-1}b_i,其中b_i\in{0,1}$。對於任意的$a\in[0,H]$，直觀地，可轉換爲2個證明$a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]且H-a\in[0,2^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}-1]$。事實上，通過巧妙地選擇係數$G_i$，對於任意的$H>1$，可以僅需要一個證明即可，$for\ a\in[0,H], for\ any\ H>1,iff\ a=\sum_{i=1}^{\left \lfloor \log_2H\right \rfloor+1}G_ib_i\ and\ b_i\in[0,u-1]$。

2. 新的Range proof