傅里葉變換是分析線性系統的一個有力工具。 從數學意義上說，傅里葉變換將一個任意的週期函數分解成爲無窮個正弦函數的和的形式；從物理效果上看，傅里葉變換實現了將信號從空間域到頻率域的轉換。關於傅里葉變化的講解，很多大神都寫得非常詳盡了，通過下面幾篇博文，可以讓大家對傅里葉變換何相關知識有一個全面的瞭解，在這裏我主要是想從圖像處理中的角度談一談自己非常淺顯的理解。
下面進入正題。
首先，我們來說一下一維傅里葉變換。
在甩公式之前，我們先搞懂這個功能是“做什麼”的。我們看下面左邊的信號圖，可以看到得到的信號是雜亂無章的，通過傅里葉變換，也就是將這個雜亂的信號由時間域轉化到頻率域中，我們可以清晰的看到，哦，原來這個雜亂的信號是兩個正弦波和一些噪聲混合而成的，對於這個信號的理解一下子明朗了起來。
而當我們把有效的信號頻率分離出來，或者將噪聲信號過濾出去，再通過傅里葉變換的逆變換，我們就可以得到濾波後的結果：
好的，知道“做什麼”之後，我們看看“怎麼做”。
對於一個連續的時間信號
由於
其中，
在計算機上處理的信號都是離散信號，對離散信號進行頻譜分析自然要用到離散傅里葉變換。對於一個離散序列
一維的傅里葉變換中只含有一個自變量，我們知道，圖像可以表示爲二維的數表或矩陣，因此，在圖像處理技術中，我們需要用到二維離散傅里葉變換了。假設，我們用
從上式中可以看出，二維信號經過傅里葉變換得到了二維離散傅里葉變換頻譜圖。它是一個和原圖像大小相當的二維矩陣，這個二維矩陣點的每一個位置
正如剛纔所說，一維傅里葉變化是將信號分解爲正弦波的和的形式，相似地，二維傅里葉變換可以將一個二維信號（圖像）分解爲三角平面波之和的形式，如下圖：
那一維的情況下，我們得到的頻譜圖的橫座標是頻率，縱座標是振幅，二維情況下，我們得到的頻譜圖中的座標
二維信號的離散傅里葉變換所得到的結果的頻率成分的分佈示意圖如下圖所示：
通常情況下，我們會對頻譜圖進行平移，因此大部分譜圖的中心部分（uv座標系中點(0,0)附近）表示原圖像中的低頻部分。上述內容也可以通過下面這張圖加深理解：
有一位博主po出了許多常見圖形的傅里葉變換頻譜圖，也可以幫助我們加深理解（點此查看）。
通過二維離散傅里葉變換，我們可以將空間域（二維灰度數表）的圖像轉換到頻域（頻率數表），使得我們可以更直觀地觀察和處理圖像，也更有利於進行頻域濾波等操作。
二維離散傅里葉變化建立了函數在空間域和頻率域之間的轉化關係，是數字圖像處理中的強大工具。二維離散傅里葉變化也具有許多有趣的性質，如可分離性、平移性、週期性、共軛對稱性、旋轉不變性、分配性和比例性等。有博主已經講得非常詳盡了（點此查看），所以在這裏就不多說了。
參考：