数据流分析之WorkList Algorithm

目录

 

（1）如何求解数据流方程？

（2）WorkList Algorithm

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（1）如何求解数据流方程？

不论是Reaching Definition Analysis中对可达定义集合的求解，还是Liveness Analysis中对活跃变量集合的求解，本质上都是在解方程。

以RDA举例，其数据流方程如下：

可认为每个指令都对应方程中的两个变量，即IN(p)和OUT(p)。为了减少变量个数，把(1)式带入(2)式，以去掉IN(p)：

此时方程中的变量为，而和则属于常数，因为其值随着指令的确定而相应确定。

此外，方程还有一个初值，即，

转化为OUT，

 

为了说明求解思路，先用更简化的符号来表示上述方程：

通过此方程可以看出，数据流方程的一个重要特点就是，待求的每个未知数既是若干方程的自变量，也是某个方程的因变量。

从此特点出发，我们很快发现一种求解的思路，即先给定一组未知数的初始值如，接着将这组值带入上述方程，得到又一组未知数的值，如果与相等，则说明找到了一组方程的解，因为这组值可让上述方程成立。如果与不相等，则重复上述过程，一定能找出方程的一组解。原因如下：

 

对于RDA，自变量越大（即集合的基数越大），根据方程，其因变量也相应越大。

由此可知，上述方程中的函数都是单调不减的，即如果，则有

，即

要让解集合随着迭代的进行而越来越大（即集合的基数越大），还需要一个初始条件，即

如果令，则有

此时初始条件和函数单调性共同作用，有如下链式反应：

由于是离散值（集合）且有上界（集合元素有上限），因此上述链式反应一定会终止，终止时会有

，这即为方程的一组解。

 

（2）WorkList Algorithm

上述思路对应的算法为Round-Robin Iterations，即各未知数的迭代次数（or更新次数）保持同步，即算法每次循环结束后都有

，而WorkList Algorithm则不同，其未知数的迭代次数不一定同步，在算法每次循环结束后可能会出现

，这说明针对未知数的值的更新，WorkList Algorithm有一套优先级规则。（其实这两种更新思路与数值分析中求解线性方程组的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代有共通之处）

 

先给出WorkList Algorithm的（不规范的）伪代码：

WorkList()
    for i <- 1 to n do
        y[i] <- { } //初始化随具体情况而定
    w <- [ y[1] y[2] ... y[n] ] //将未知数放入worklist中
    while(!is_empty(w)) do 
        y[i] <- extract(w) //从worklist以某种方式抽出一个未知数
        old <- y[i] //记录此未知数的值
        y[i] <- f_i(y[1], y[2], ..., y[n]) //挑出以此未知数作为因变量的方程，并进行运算，结果赋给此未知数
        if old != y[i] then //如果未知数的值在运算后发生变化
            for y[k] <- dep(y[i]) do 
            //将依赖它的那些未知数放入worklist中，a依赖b的含义是
            //以a为因变量的方程使用b作为自变量，因此当b发生变化，a也就可能发生变化
            //故把a放入worklist中
                w <- insert(w, y[k])
        

未完待续