2020牛客寒假算法基礎集訓營1—A.honoka和格點三角形【計數】鏈接
題目描述
honoka最近在研究三角形計數問題。
她認爲，滿足以下三個條件的三角形是“好三角形”。
1.三角形的三個頂點均爲格點，即橫座標和縱座標均爲整數。
2.三角形的面積爲 。
3.三角形至少有一條邊和 軸或 軸平行。
honoka想知道，在平面中選取一個大小爲 的矩形格點陣，可以找到多少個不同的“好三角形”？由於答案可能過大，請對 取模。
輸入描述:
兩個正整數和（ 2\ ≤n,m≤10^9）（2 ≤n,m≤10
9
）
輸出描述:
面積爲1的格點三角形的數量，對 10^9+7 取模的結果。
示例1
輸入
2 3
輸出
6
說明
格點如下：
。 。 。
。 。 。
不妨設左下角座標爲(1,1)，右上角座標爲到(3,2)。
那麼三點座標可選：
（1，1）（1，2）（3，1）
（1，1）（1，2）（3，2）
（1，1）（2，2）（3，1）
（1，1）（3，1）（3，2）
（1，2）（2，1）（3，2）
（1，2）（3，1）（3，2）
所以共有6個。
示例2
輸入
100 100
輸出
7683984
說明
這裏太小寫不下啦。
備註:
可以把面積爲 11 的“好三角形”分爲兩類分開統計：兩條邊和兩個座標軸平行；只有一條邊和某個座標軸平行。
（1）對於第一種情況，一定是 12 或者 21 的形式，一個 12 的矩形中含有4個不同的三角形，同理一個21的矩形中也含有4個不同的三角形
總數是 4*((n-2)(m-1)+(m-2)(n-1))
（2）對於第二種情況，可以分別統計底邊爲 2 、高爲 1 和底邊爲 1 、高爲 2 的情況。要注意底邊靠近邊界時的特殊討論。
①對於底邊爲2，高爲1的情況：
若底邊和x軸平行，那麼底邊橫向移動（指x軸水平移動，下同）有 n-2種可能，“對點”（指底邊相對的點）的某一面選擇有 n-2 種可能（某一面選擇，指的是底邊固定的情況，對點在一條直線上移動所做出的選擇），而底邊縱向移動有 m 種情況，其中有 (m-2)種情況對點可以選擇兩個面，2種情況對點只能選擇一個面（當底邊移動到格點陣邊界的時候）。因此縱向移動摺合爲 2*(m-2)+2，即2*(m-1)
以上可計算爲2*(m-1)(n-2)(n-2)
若底邊和y軸平行，同理可推出 2*(n-1)(m-2)(m-2)
總數是2*(m-1)(n-2)(n-2)+2*(n-1)(m-2)(m-2)
②對於底邊爲1，高爲2的情況，與①類似，若底邊和x軸平行，那麼底邊橫向移動（指x軸水平移動，確保了底爲1）有 n-1種可能，對點”（指不在底邊的另外一點，它確保了高爲2）的某一面選擇有 n-2 種可能（某一面選擇，指的是底邊固定的情況，對點在一條直線上移動所做出的選擇），而底邊縱向移動並且保證高爲2，則有 (m-2)種情況對點可以選擇，以上可計算爲2*(n-1)(n-2)(m-2)
若底邊和y軸平行，同理可推出 2*(m-1)(m-2)(n-2)
總數是2*(n-1)(n-2)(m-2)+ 2*(m-1)(m-2)(n-2)
綜上所述“好三角形”計數爲4*((n-2)(m-1)+(m-2)(n-1))+2*(m-1)(n-2)(n-2)+2*(n-1)(m-2)(m-2)+2*(n-1)(n-2)(m-2)+ 2*(m-1)(m-2)(n-2)
#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); //2-4牛客 A題
long long n,m;
cin>>n>>m;
long long a,b,c;
a=4*((n-2)%mod*(m-1)%mod+(n-1)%mod*(m-2)%mod)%mod;
b=2*((n-2)%mod*(n-2)%mod*(m-1)%mod+(n-1)%mod*(m-2)%mod*(m-2)%mod)%mod;
c=2*((n-1)%mod*(n-2)%mod*(m-2)%mod+(n-2)%mod*(m-1)%mod*(m-2)%mod)%mod;
cout<<(a+b+c)%mod;
}