2020牛客寒假算法基础集训营1—A.honoka和格点三角形【计数】链接
题目描述
honoka最近在研究三角形计数问题。
她认为，满足以下三个条件的三角形是“好三角形”。
1.三角形的三个顶点均为格点，即横座标和纵座标均为整数。
2.三角形的面积为 。
3.三角形至少有一条边和 轴或 轴平行。
honoka想知道，在平面中选取一个大小为 的矩形格点阵，可以找到多少个不同的“好三角形”？由于答案可能过大，请对 取模。
输入描述:
两个正整数和（ 2\ ≤n,m≤10^9）（2 ≤n,m≤10
9
）
输出描述:
面积为1的格点三角形的数量，对 10^9+7 取模的结果。
示例1
输入
2 3
输出
6
说明
格点如下：
。 。 。
。 。 。
不妨设左下角座标为(1,1)，右上角座标为到(3,2)。
那么三点座标可选：
（1，1）（1，2）（3，1）
（1，1）（1，2）（3，2）
（1，1）（2，2）（3，1）
（1，1）（3，1）（3，2）
（1，2）（2，1）（3，2）
（1，2）（3，1）（3，2）
所以共有6个。
示例2
输入
100 100
输出
7683984
说明
这里太小写不下啦。
备注:
可以把面积为 11 的“好三角形”分为两类分开统计：两条边和两个座标轴平行；只有一条边和某个座标轴平行。
（1）对于第一种情况，一定是 12 或者 21 的形式，一个 12 的矩形中含有4个不同的三角形，同理一个21的矩形中也含有4个不同的三角形
总数是 4*((n-2)(m-1)+(m-2)(n-1))
（2）对于第二种情况，可以分别统计底边为 2 、高为 1 和底边为 1 、高为 2 的情况。要注意底边靠近边界时的特殊讨论。
①对于底边为2，高为1的情况：
若底边和x轴平行，那么底边横向移动（指x轴水平移动，下同）有 n-2种可能，“对点”（指底边相对的点）的某一面选择有 n-2 种可能（某一面选择，指的是底边固定的情况，对点在一条直线上移动所做出的选择），而底边纵向移动有 m 种情况，其中有 (m-2)种情况对点可以选择两个面，2种情况对点只能选择一个面（当底边移动到格点阵边界的时候）。因此纵向移动折合为 2*(m-2)+2，即2*(m-1)
以上可计算为2*(m-1)(n-2)(n-2)
若底边和y轴平行，同理可推出 2*(n-1)(m-2)(m-2)
总数是2*(m-1)(n-2)(n-2)+2*(n-1)(m-2)(m-2)
②对于底边为1，高为2的情况，与①类似，若底边和x轴平行，那么底边横向移动（指x轴水平移动，确保了底为1）有 n-1种可能，对点”（指不在底边的另外一点，它确保了高为2）的某一面选择有 n-2 种可能（某一面选择，指的是底边固定的情况，对点在一条直线上移动所做出的选择），而底边纵向移动并且保证高为2，则有 (m-2)种情况对点可以选择，以上可计算为2*(n-1)(n-2)(m-2)
若底边和y轴平行，同理可推出 2*(m-1)(m-2)(n-2)
总数是2*(n-1)(n-2)(m-2)+ 2*(m-1)(m-2)(n-2)
综上所述“好三角形”计数为4*((n-2)(m-1)+(m-2)(n-1))+2*(m-1)(n-2)(n-2)+2*(n-1)(m-2)(m-2)+2*(n-1)(n-2)(m-2)+ 2*(m-1)(m-2)(n-2)
#include<bits/stdc++.h>
#include<iostream>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0); //2-4牛客 A题
long long n,m;
cin>>n>>m;
long long a,b,c;
a=4*((n-2)%mod*(m-1)%mod+(n-1)%mod*(m-2)%mod)%mod;
b=2*((n-2)%mod*(n-2)%mod*(m-1)%mod+(n-1)%mod*(m-2)%mod*(m-2)%mod)%mod;
c=2*((n-1)%mod*(n-2)%mod*(m-2)%mod+(n-2)%mod*(m-1)%mod*(m-2)%mod)%mod;
cout<<(a+b+c)%mod;
}