一、二叉樹的定義
二叉樹是一種遞歸的非線性數據結構。它要麼是一棵空樹，要麼是一棵由根結點和根結點上的兩棵互不相交的子樹(左子樹、右子樹)組成的非空樹。它有五種形態，圖示如下：
這裏對圖示做一些說明：
首先，二叉樹上的結點最多隻有兩個子樹，分別是左子樹和右子樹，而子樹也是一棵二叉樹，它可能是上面五種形態的任何一種。也就是說當一棵二叉樹只有一個根結點時，代表其兩棵子樹爲空。所以，一定要形成這樣的一個認識，一棵二叉樹絕對是由上述五種形態的二叉樹組合而成的。
二、關於二叉樹的術語
定義術語的目的是爲了後期描述其性質或一些操作方便，所以有一個印象即可，不記得再來這裏看一下就好了。
- 樹的結點（node）：包含一個數據元素及兩個指向子樹的分支；
- 孩子結點（child node）：結點的子樹的根稱爲該結點的孩子；
- 雙親結點：B 結點是A 結點的孩子，則A結點是B 結點的雙親；
- 兄弟結點：同一雙親的孩子結點； 堂兄結點：同一層上結點；
- 祖先結點: 從根到該結點的所經分支上的所有結點；
- 子孫結點：以某結點爲根的子樹中任一結點都稱爲該結點的子孫；
- 結點層：根結點的層定義爲1；根的孩子爲第二層結點，依此類推；
- 樹的深度：樹中最大的結點層；
- 結點的度：結點子樹的個數；
- 樹的高度：任一棵樹到任一葉子結點的最大長度，葉子結點高度爲1；
- 樹的度： 樹中最大的結點度；
- 葉子結點：也叫終端結點，是度爲 0 的結點，即最後的沒有子樹的結點；
- 分枝結點：度不爲0的結點；
二叉樹有幾種類型：
1、滿二叉樹：樹上的任一結點除葉子結點外都有兩棵子樹
![在這裏插入圖片描述]()
2、完全二叉樹：葉子結點只會出現在最後一層或倒數第二層，結點不可能只有右子樹。也就是說，完全二叉樹按照從上至下從左至右，能無間隔的給結點排序。圖示如下：
![在這裏插入圖片描述]()
3、二叉搜索樹：在二叉樹的基礎上保證左子樹上元素都比根結點小，右子樹上元素都比根結點大。
![在這裏插入圖片描述]()
我們後面的討論都是基於二叉搜索樹。
三、代碼實現
首先定義出二叉樹上的結點類：
public class Node {
K key;
V value;
Node left;
Node right;
int height;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
//結點默認添加爲葉子結點，故高度爲1
this.height = 1;
}
}
爲了安全，結點類可以設計爲二叉樹的內部類：如下所示：
public class BinaryTree<K extends Comparable<K>,V> {
private class Node {
K key;
V value;
Node left;
Node right;
int height;
public Node(K key, V value) {
this.key = key;
this.value = value;
this.left = null;
this.right = null;
//結點默認添加爲葉子結點，故高度爲1
this.height = 1;
}
}
private Node root;
private int size;
public BinaryTree() {
root = null;
size = 0;
}
//獲取AVL樹中結點個數
public int getSize() {
return size;
}
//判空
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
}
下面說一下求結點高度的方法：
由定義知：結點的高度永遠比其孩子中最大的高度大1，如果孩子爲null時，它的高度爲0。因此可以通過遞歸求取：
求取樹的高度
//獲得結點的高度
public int getHeight(Node node) {
if(node == null){
return 0;
}
return node.height;
}
尋找樹上key最大和最小的結點
由於我們的二叉搜索樹保存的數據是一個鍵值對，而且排序是按照key來排的，因此我們搜索的時候也是基於key來比較的。
//找到以node爲根結點的樹上的最大結點
private Node findMax(Node node) {
if(node == null) {
return null;
}
while(node.right != null) {
node = node.right;
}
return node;
}
//找到以node爲根結點的樹上的最小結點
private Node findMin(Node node) {
if(node == null){
return null;
}
while(node.left != null){
node = node.left;
}
return node;
}
方法定義爲private是因爲我們的結點類是私有內部類，外部訪問不了。
尋找指定的結點
//在以node爲根的樹上尋找key的結點
private Node findNode(Node node, K key) {
if(node == null){
return null;
}
if(node.key.compareTo(key) == 0) {
return node;
}else if(node.key.compareTo(key) > 0) {
return findNode(node.left, key);
}else{
return findNode(node.right, key);
}
}
另外定義幾個常用方法如下：
//獲取key的結點的value
public V get(K key) {
Node node = findNode(root, key);
if(node != null){
return node.value;
}
return null;
}
//獲取以node爲根，key爲鍵的樹上的結點
private Node getNode(Node node, K key) {
return findNode(node, key);
}
//設置key的結點的值
public void set(K key, V value) {
Node node = findNode(root, key);
if(node != null) {
node.value = value;
}else{
throw new IllegalStateException("Node doesn't exist.");
}
}
添加結點
添加結點的邏輯比較簡單，首先得知道一點，二叉樹添加的結點一定會成爲葉子結點（這句話再讀三遍）。添加結點的過程以圖示解釋：
添加結點的過程是一個遞歸的過程。從根結點開始，要添加的結點7比10小，需要添加到根結點的左子樹上，所以與左子樹根結點8比較，比8小，需要添加到以8爲根結點的左子樹上，所以與根結點爲6的左子樹比較，比6大，添加到以6爲根結點的右子樹上，發現6的右子樹爲null，因此將新添加的結點作爲其右子樹。添加後的二叉樹如下：
代碼如下：
//添加結點
public void add(K key, V value) {
root = add(root, key, value);
}
private Node add(Node node, K key, V value) {
if(node == null) { //找到了合適的位置，直接添加
node = new Node(key,value);
size ++;
//維護結點的高度
node.height = Math.max(getHeight(node.left), getHeight(node.right)) + 1;
}
if(node.key.compareTo(key) > 0) {
//比當前根結點小，遞歸添加到其左子樹上
node.left = add(node.left, key, value);
}else if(node.key.compareTo(key) < 0){
//比當前結點大，遞歸添加到其右子樹上
node.right = add(node.right, key, value);
}else {
node.value = value;
}
return node;
}
總結：二叉樹添加結點的過程其實就是找到添加結點的合適位置。而找這個位置的過程就是不斷與樹上的結點比較，發現比樹上結點小，就去與它的左孩子比較，如果比結點大，就與它的右孩子比較，如果相等，則默認不加入。直到到達二叉樹的葉子結點的位置，將新添加的結點作爲葉子結點放在二叉樹上。
刪除結點
而刪除結點的過程呢就有點複雜了。它分爲三種情況：
- 被刪除結點沒有孩子結點
![在這裏插入圖片描述]()
- 被刪除結點只有一個左孩子或只有一個右孩子
![在這裏插入圖片描述]()
當結點7是結點6的左孩子時同理。 - 被刪除結點既有左孩子又有右孩子
![在這裏插入圖片描述]()
上面圖上的文字如果需要可以多讀幾遍，我下面再舉個複雜例子說明：
![在這裏插入圖片描述]()
好了，相信你看完就理解刪除結點的邏輯了。
代碼如下：
//刪除指定的結點
public V remove(K key) {
Node node = getNode(root, key);
if(node != null) {
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key) {
if(node == null) {
return null;
}
if(node.key.compareTo(key) > 0) {
node.left = remove(node.left, key);
return node;
}else if(node.key.compareTo(key) < 0) {
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}else { //找到了要刪除的結點
if(node.left == null) { //沒有左孩子或者沒有孩子結點
Node rightNode = node.right;
size --;
node.right = null;
return rightNode;
}else if(node.right == null) { //沒有右孩子
Node leftNode = node.left;
size --;
node.left = null;
return leftNode;
}else {
//找到右子樹最小結點
Node successor = findMin(node.right);
//這裏代碼的目的是與目標結點互換
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
return successor;
}
}
}
有點長，關於二叉樹的遍歷就放在另外一篇文章了。