[數據結構]單源最短路徑

一、什麼是最短路徑？
對於非網圖（沒有邊上的權值），它的最短路徑指兩頂點之間經過的邊數最少的路徑。
對於網圖，它的最短路徑指兩頂點之間經過的權值之和最少的路徑。（我們稱路徑上的第一個頂點是源點，最後一個頂點是終點。）
二、如何實現找到最短路徑？
1、Floyd-Warshall（弗洛伊德和沃舍爾共同發明的）算法：從源點到終點允許經過1~n號所有頂點進行中轉，求任意兩點之間的最短路徑。
特點：時間複雜度：O(N的3次方)，適用於稠密圖和頂點關係密切。

///鄰接矩陣實現Floyd-Warshall算法核心語句
for(int k=1;k<=n;k++)
    for(int i=1;i<=n;i++)
       for(int j=1;j<=n;j++)
          if(e[i][j]>e[i][k]+e[k][j]) 
             e[i][j]=e[i][k]+e[k][j];

2、迪傑斯特拉（Dijkstra）算法：按路徑長度遞增的順序逐步產生最短路徑的構造算法。其主要的基本思想：把圖中所有的頂點分成兩組，第一組爲已確定最短路徑的頂點；第二組爲未確定最短路徑的頂點，按最短路徑長度遞增的順序逐個把第二組的頂點加到第一組去，直到從v1出發可以到達所有頂點都在第一組中。（通過“邊”來鬆弛1號頂點到其餘各個頂點的路程，也就是更新dis）

for(int i=1;i<=n;i++) dis[i] = e[1][j];///初始化dis
///鄰接表實現迪傑斯特拉（Dijkstra）算法
for(int i=1;i<=n-1;i+1){
     min = inf;///inf爲無窮大
     for(int j=1;j<=n;j++)///找離1號頂點距離(邊權值和)最短的頂點
        if(！visited[j]&&dis[j]<min){
        min=dis[j];
        u=j;///記錄好當前頂點編號
        }
        visited[u]=1;
        for(int v=1;v<=n;v++)
           if(e[u][v]<inf&&dis[v]>dis[u]+e[u][v]) 
               dis[v]=dis[u]+e[u][v];
 }

3、Bellman-Ford(貝爾曼-福特)算法：它的基本思想與Dijkstra差不多，但是它優點在於可以處理存在負權邊的圖。

//數組u：邊的起點
//數組v：邊的終點
//數組w：邊的權值
///Bellman-Ford算法核心語句
for(int k=1;k<=n-1;k++)
     for(int i=1;i<=m;i++)
         if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
             dis[v[i]] =dis[u[i]]+w[i];
///j檢測負權迴路
///本來dis已經全部更新爲最小，如果判斷dis還能小，必定負權邊
bool flag=false;
for(int i=1;i<=m;i++)
      if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i]) flag=true;
if(flag) printf("此圖含有負權迴路");

bool visited[maxn]={false};///初始化爲false
 for(int i=1;i<=n;i++) dis[i]=INF;初始化爲無窮大

typedef struct{
   int u,v,w;
   int next;///存儲當前結點鄰接點的下標，也叫下一條邊
}e[maxn];
int first[maxn]={-1};///初始化未-1，爲第一條邊編號（下邊）

///Bellman-Ford隊列優化，此法也叫SPFA
int spfa(int s){
      queue<int> q; 
      dis[s] = 0; 
      q.push(s); 
      visited[s] = true; 
     while(!q.empty()) { 
          int x = q.front(); 
          q.pop(); 
          inq[x] = false;
          for(int i = first[x]; i !=-1 ; i = e[i].next) {
              int k = e[i].v;
              if(dis[k] > dis[x] + e[i].w) {
                 dis[k] = dis[x] + e[i].w;
                 if(!visited[k]) {
                     visited[k] = true;
                     q.push(k);
                 }
             }
         }
      }
}

三、經典例題
未完待續.......