1. 遞歸Recursion
1.1 概念
生活中就有很多用到遞歸的例子。
週末帶着女朋友去電影院看電影，女朋友問，咱們現在坐在第幾排啊？電影院裏面太黑了，看不清
於是你就問前面一排的人他是第幾排，你想只要在他的數字上加一，就知道自己在哪一排了。但是，前面的人也不知道，所以他也問他前面的人。就這樣一排一排往前問，直到問到第一排的人，說我在第一排，然後再這樣一排一排再把數字傳回來。直到你前面的人告訴你他在哪一排，於是你就知道答案了。
這就是一個非常標準的遞歸求解問題的分解過程，去的過程叫“遞”，回來的過程叫“歸”。
基本上，所有的遞歸問題都可以用遞推公式來表示。剛剛這個例子，用遞推公式表示：
f(n)=f(n-1)+1 其中，f(1)=1
f(n) 表示你想知道自己在哪一排，f(n-1) 表示前面一排所在的排數，f(1)=1 表示第一排的人知道自己在第一排。有了這個遞推公式，我們就可以很輕鬆地將它改爲遞歸代碼，如下：
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}
Recursion
遞歸 — 循環 通過函數體來進行的循環（函數自己調自己）
遞歸
1. 從前有個山，
2. 山裏有個廟，
3. 廟裏有個和尚講故事：--> 1
遞歸類似盜夢空間中不斷的層層遞進再層層回來的這種結構；
①向下進入到不同夢境中；向上又回到原來一層；（一層層的上，一層層的回來，對稱性）
②通過聲音同步回到上一層；（同步的關係即用參數來進行，函數不同層之間的傳遞變量）
③每一層的環境和周圍的人都是一份拷貝，主角等幾個人穿越不同層級的夢境（發生和攜帶變化）
1.2 遞歸需要滿足的三個條件
剛剛這個例子是非常典型的遞歸，那究竟什麼樣的問題可以用遞歸來解決呢？只要同時滿足以下三個條件，就可以用遞歸來解決。
1. 一個問題的解可以分解爲幾個子問題的解
何爲子問題？子問題就是數據規模更小的問題。比如，前面講的電影院的例子，你要知道，“自己在哪一排”的問題，可以分解爲“前一排的人在哪一排”這樣一個子問題。
2. 這個問題與分解之後的子問題，除了數據規模不同，求解思路完全一樣
你求解“自己在哪一排”的思路，和前面一排人求解“自己在哪一排”的思路，是一模一樣的。
3. 存在遞歸終止條件
把問題分解爲子問題，把子問題再分解爲子子問題，一層一層分解下去，不能存在無限循環，這就需要有終止條件。第一排的人不需要再繼續詢問任何人，就知道自己在哪一排，也就是 f(1)=1，這就是遞歸的終止條件。
1.3 遞歸代碼
寫遞歸代碼最關鍵的是寫出遞推公式，找到終止條件，剩下將遞推公式轉化爲代碼就很簡單了。
寫遞歸代碼的關鍵就是找到如何將大問題分解爲小問題的規律，並且基於此寫出遞推公式，然後再推敲終止條件，最後將遞推公式和終止條件翻譯成代碼。
人腦幾乎沒辦法把整個“遞”和“歸”的過程一步一步都想清楚。計算機擅長做重複的事情，所以遞歸正和它的胃口。而我們人腦更喜歡平鋪直敘的思維方式。當我們看到遞歸時，我們總想把遞歸平鋪展開，腦子裏就會循環，一層一層往下調，然後再一層一層返回，試圖想搞清楚計算機每一步都是怎麼執行的，這樣就很容易被繞進去。
如果一個問題 A 可以分解爲若干子問題 B、C、D，你可以假設子問題 B、C、D 已經解決，在此基礎上思考如何解決問題 A。而且，你只需要思考問題 A 與子問題 B、C、D 兩層之間的關係即可，不需要一層一層往下思考子問題與子子問題，子子問題與子子子問題之間的關係。屏蔽掉遞歸細節，這樣子理解起來就簡單多了。
因此，編寫遞歸代碼的關鍵是，只要遇到遞歸，我們就把它抽象成一個遞推公式，不用想一層層的調用關係，不要試圖用人腦去分解遞歸的每個步驟。
遞歸模板代碼：
public void recur(int level, int param) {
//1. terminator 遞歸終結條件
if (level > Max_LEVEL) {
//process result
return;
}
//2. process current logic 處理當前邏輯
process(level, param);
//3. drill down 下探到下一層
recur(level: level + 1, newParam);
//4. restore current level status if needed 清理當前層
}
1.4 遞歸的問題
1.4.1 遞歸代碼要警惕堆棧溢出
堆棧溢出會造成系統性崩潰。爲什麼遞歸代碼容易造成堆棧溢出呢？該如何預防堆棧溢出呢？
在使用“棧”時，函數調用會使用棧來保存臨時變量。每調用一個函數，都會將臨時變量封裝爲棧幀壓入內存棧，等函數執行完成返回時，纔出棧。系統棧或者虛擬機棧空間一般都不大。如果遞歸求解的數據規模很大，調用層次很深，一直壓入棧，就會有堆棧溢出的風險。
比如電影院的例子，如果我們將系統棧或者 JVM 堆棧大小設置爲 1KB，在求解 f(19999) 時便會出現如下堆棧報錯：
Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
那麼，如何避免出現堆棧溢出呢？
可以通過在代碼中限制遞歸調用的最大深度的方式來解決這個問題。遞歸調用超過一定深度（比如 1000）之後，我們就不繼續往下再遞歸了，直接返回報錯。
還是電影院那個例子，我們可以改造成下面這樣子，就可以避免堆棧溢出了。下邊是僞代碼：
// 全局變量，表示遞歸的深度。
int depth = 0;
int f(int n) {
++depth；
if (depth > 1000) throw exception;
if (n == 1) return 1;
return f(n-1) + 1;
}
1.4.2 遞歸代碼要警惕重複計算
從圖中，我們可以直觀地看到，想要計算 f(5)，需要先計算 f(4) 和 f(3)，而計算 f(4) 還需要計算 f(3)，因此，f(3) 就被計算了很多次，這就是重複計算問題。
爲了避免重複計算，我們可以通過一個數據結構（比如散列表）來保存已經求解過的 f(k)。當遞歸調用到 f(k) 時，先看下是否已經求解過了。如果是，則直接從散列表中取值返回，不需要重複計算，這樣就能避免重複計算的問題了。
public int f(int n) { if (n == 1) return 1; if (n == 2) return 2; // hasSolvedList 可以理解成一個 Map，key 是 n，value 是 f(n) if (hasSolvedList.containsKey(n)) { return hasSolvedList.get(n); } int ret = f(n-1) + f(n-2); hasSolvedList.put(n, ret); return ret; }
除了堆棧溢出、重複計算這兩個常見的問題。遞歸代碼還有如 函數調用耗時多、空間複雜度高等問題。
在時間效率上，遞歸代碼裏多了很多函數調用，當這些函數調用的數量較大時，就會積聚成一個可觀的時間成本。在空間複雜度上，因爲遞歸調用一次就會在內存棧中保存一次現場數據，所以在分析遞歸代碼空間複雜度時，需要額外考慮這部分的開銷，比如我們前面講到的電影院遞歸代碼，空間複雜度並不是 O(1)，而是 O(n)。
1.5 遞歸代碼改寫爲迭代循環
遞歸有利有弊，利是遞歸代碼的表達力很強，寫起來非常簡潔；而弊就是空間複雜度高、有堆棧溢出的風險、存在重複計算、過多的函數調用會耗時較多等問題。所以，在開發過程中，我們要根據實際情況來選擇是否需要用遞歸的方式來實現。
那我們是否可以把遞歸代碼改寫爲非遞歸代碼呢？比如剛纔那個電影院的例子，我們拋開場景，只看 f(x) =f(x-1)+1 這個遞推公式。
int f(int n) {
int ret = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
ret = ret + 1;
}
return ret;
}
int f(int n) {
if (n == 1) return 1;
if (n == 2) return 2;
int ret = 0;
int pre = 2;
int prepre = 1;
for (int i = 3; i <= n; ++i) {
ret = pre + prepre;
prepre = pre;
pre = ret;
}
return ret;
}
所有的遞歸代碼是否都可以改爲這種迭代循環的非遞歸寫法呢？籠統地講，是的。遞歸本身就是藉助棧來實現的，只不過我們使用的棧是系統或者虛擬機本身提供的，我們沒有感知罷了。如果我們自己在內存堆上實現棧，手動模擬入棧、出棧過程，這樣任何遞歸代碼都可以改寫成看上去不是遞歸代碼的樣子。
但是這種思路實際上是將遞歸改爲了“手動”遞歸，本質並沒有變，而且也並沒有解決前面講到的某些問題，徒增了實現的複雜度。
遞歸的應用
推薦註冊返佣金的這個功能，
用戶 A 推薦用戶 B 來註冊，用戶 B 又推薦了用戶 C 來註冊。A -> B -> C ，用戶 C 的“最終推薦人”爲用戶 A，用戶 B 的“最終推薦人”也爲用戶 A，而用戶 A 沒有“最終推薦人”。
一般來說，我們會通過數據庫來記錄這種推薦關係。在數據庫表中，我們可以記錄兩行數據，其中 actor_id 表示用戶 id，referrer_id 表示推薦人 id。
給定一個用戶 ID，如何查找這個用戶的“最終推薦人”？
long findRootReferrerId(long actorId) { Long referrerId = select referrer_id from [table] where actor_id = actorId; if (referrerId == null) return actorId; return findRootReferrerId(referrerId); }
IDE 的單步跟蹤功能
調試的遞歸使用: 1. 打印日誌發現遞歸值。 2. 結合條件斷點進行調試。
遞歸棧
計算 n!
n! = 1 * 2 * 3 * … * n
斐波拉契數列
Fibonacci array: 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, …
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
