cs231n'18： Course Note 3

Optimization: Stochastic Gradient Descent

这一节主要讲optimization的相关内容。重点在于各种grads的实现，特别是与矩阵相关的grads的实现，包括公式推导和代码实现。note 3中先给出了svm的grads，以后还会遇到softmax，conv，relu，BN等等各种grads。将会结合作业详细的给出各种grads的公式推导和代码实现。

此处有作业

Assignment 1: SVM grads的计算

公式推导

对一个sample $x_i$，svm的loss为：

$\begin{aligned} L_i = & \sum_{j \neq y_i}^C \max\left( 0, w_j x_i - w_{y_i} x_i + \Delta \right) \newline = & \max\left( 0, w_0 x_i - w_{y_i} x_i + \Delta \right) + ... + \max\left( 0, w_j x_i - w_{y_i} x_i + \Delta \right) + ... \end{aligned}$

$L_i$ 对 $w_j$ 求导：

$\mathrm{d}w_j = \frac{\partial L_i}{\partial w_j} = 0 + 0 + ... + \mathbb{1} \left( w_j x_i - w_{y_i} x_i + \Delta > 0\right) \cdot x_i$

$L_i$ 对 $w_{y_i}$ 求导：

$\begin{aligned} \mathrm{d}w_{y_i} =& \frac{\partial L_i}{\partial w_{y_i}} = \mathbb{1} \left( w_0 x_i - w_{y_i} x_i + \Delta > 0\right) \cdot (-x_i) + ... + \mathbb{1} \left( w_j x_i - w_{y_i} x_i + \Delta > 0\right) \cdot (-x_i) + ... \newline =& - \left( \sum_{j \neq y_i}^C \mathbb{1} \left( w_j x_i - w_{y_i} x_i + \Delta > 0\right) \right) \cdot x_i \end{aligned}$

代码实现

svm_naive

$\mathrm{d}W$ 必定与 $W$ 有同样的shape，这一点是今后计算grad必须要首先确定的。在这里，$\mathrm{d}W$的shape是(3073, 10)。接下来看 $L$ 的下标是 $i \in [0, N)$，即是N个sample之一，$w$ 的下标是 $j \in [0, C)$，即10个class之一。如果此列对应的不是true class，并且score大于0，就把这个sample的$x_i$加到 $\mathrm{d}W$ 的此列；如果此列对应的是true class，要计算其余9个class中，有几个的score大于0，然后与这个sample的$x_i$相乘，放到 $\mathrm{d}W$ 对应列。如此遍历N个sample结束。

svm_vectorize

这里介绍非常重要的维数分析法，该方法可大大简化vectorize的分析过程，而且不易出错。首先score是X和W的函数，即：
$Score = X.dot(W)$
所以，$\mathrm{d}W$必定是由 $\mathrm{d} Score$ 和X计算得出。这里X是(N, 3073)，W是(3073, 10)，所以Score是(N, 10)，而 $\mathrm{d} Score$ 必定与Score的shape相同，所以 $\mathrm{d} Score$ 也是(N, 10)，这样，根据矩阵相乘的维数限制，可以得到
$\mathrm{d} W = X.T.dot(\mathrm{d} Score)。$
由公式推导可以得到 $\mathrm{d} Score$：
$\mathrm{d}s_j = \mathbb{1} \left( s_j - s_{y_i} + \Delta > 0\right)$
$\mathrm{d}s_{y_i} = - \sum_{j \neq y_i}^C \mathbb{1} \left( s_j - s_{y_i} + \Delta > 0\right)$
即对Score的每一列，如果不是true class，且score>0，该位置 $\mathrm{d} Score$ 为1，否则为0；如果是true class，该位置的数值是此列不为0的个数。

这里遇到个问题debug了很久才发现，代码如下:

scores = np.maximum(0, scores - correct_score[:, np.newaxis] + 1.0)
scores[np.arange(N), y] = 0
dScore = (scores > 0)
dScore[np.arange(N), y] = -np.sum(dScore, axis=1)
print(dScore[np.arange(N), y])

结果为:

[ True  True  True ... True]

正确的应该为：

dScore = (scores > 0).astype(np.float)

结果为:

[-9. -9. -9. ... -6.]

由于这里grad check用的是grad_check_sparse，仅仅在10个点上进行抽样检查，所以在grad check时是检查不出来的，但是在最后检查naive和vecterize时，采用的是两者之差求Frobenius norm，这才会检查出来。

Inline Question 1: It is possible that once in a while a dimension in the gradcheck will not match exactly. What could such a discrepancy be caused by? Is it a reason for concern? What is a simple example in one dimension where a gradient check could fail? How would change the margin affect of the frequency of this happening? Hint: the SVM loss function is not strictly speaking differentiable

问题里已经给出了提示，显然由于max函数引入的奇点，当svm取到0附近一个很小区域时，gradcheck就会不匹配。最简单的例子就是如果 $\Delta$ 为0，在初始化的时候有很大概率取到奇点附近。

Assignment 1: softmax grads的计算

公式推导

还是要stage到score级别，然后再用 $\mathrm{d} W = X.T.dot(\mathrm{d} Score)$来计算 $\mathrm{d} W$，这样可以在推导的时候不用考虑如何计算对两个矩阵相乘。
$L_i = - \log \left( \ p_{y_i} \right) = -\log \left(\frac{e^{s_{y_i}}}{\sum_j e^{s_j}} \right )$

$L_i$ 对任意 $s_k$ 求导：
$\begin{aligned} \mathrm{d} s_k =& \frac{\partial L_i}{\partial s_k} = - \frac{\partial}{\partial s_k} \left( \log \left(\frac{e^{s_{y_i}}}{\sum_j e^{s_j}} \right ) \right) \newline =& - \frac{\sum_j e^{s_j}}{e^{s_{y_i}}} \cdot \frac{\left( {e^{s_{y_i}}}\right)^{'} \cdot {\sum_j e^{s_j}} - {e^{s_{y_i}}} \cdot \left( {\sum_j e^{s_j}} \right)^{'}}{\left( {\sum_j e^{s_j}}\right)^2} \newline =&\frac{\frac{\partial}{\partial s_k}\left( {\sum_j e^{s_j}} \right)}{{\sum_j e^{s_j}}} - \frac{ \frac{\partial }{\partial s_k} \left({e^{s_{y_i}}} \right)}{{e^{s_{y_i}}}} \newline =&\frac{\frac{\partial}{\partial s_k}\left( e^{s_0} + e^{s_1} + e^{s_{y_i}} + ... \right)}{{\sum_j e^{s_j}}} - \frac{ \frac{\partial }{\partial s_k} \left({e^{s_{y_i}}} \right)}{{e^{s_{y_i}}}} \end{aligned}$
当 $y_i = k$时：
$\mathrm{d} s_k = \frac{{e^{s_{y_i}}}}{{\sum_j e^{s_j}}} - 1$
当 $y_i \neq k$时：
$\mathrm{d} s_k = \frac{{e^{s_k}}}{{\sum_j e^{s_j}}}$
综上，
$\mathrm{d} s_k = \frac{{e^{s_k}}}{{\sum_j e^{s_j}}} - \mathbb{1} \left( y_i = k \right)$

代码实现

softmax_naive

softmax_vectorize

有了上面的公式推导和svm的经验，这里的代码不难写。注意，我们这里都是先去计算 $\mathrm{d} Score$, 然后再用 $\mathrm{d} W = X.T.dot(\mathrm{d} Score)$ 来计算。

Assignment 1: SVM Stochastic Gradient Descent

这里没什么好说的。

Inline question 2:
Describe what your visualized SVM weights look like, and offer a brief explanation for why they look they way that they do.

每一组weights都是一个class的template。

Assignment 1: Softmax

Inline Question - True or False
It’s possible to add a new datapoint to a training set that would leave the SVM loss unchanged, but this is not the case with the Softmax classifier loss.

可以的。因为svm是够大就行，而softmax是永不满足。

Assignment 1: Train SVM on features

这一部分没什么可说的。

Inline question 1:
Describe the misclassification results that you see. Do they make sense?

观察这些分类错误的情况，我们可以看到它们和正确的class在颜色、外形上有很多的相似之处。