DTOJ 4872. 真的

題意

你正在一個數軸上隨機遊走。一開始，你在位置 $0$。每一時刻，你有 $ \frac{1}{2}$ 的概率往左走，還有 $\frac{1}{2}$的概率往右走。定義一個方向係數$t$，當你往左走時 $t$ 爲 $-1$，反之往右走 $t$ 爲 $+1$。同時，我們給定了一個長度爲 $N$ 的序列 $A_1,A_2,…,A_N$ 。假如當前在位置 $x$ ，那麼在選定方向之後，下一步有 $\frac{A_k}{\sum_{i=1}^{N}{A_i}}$ 的概率在 $x+t \times k$。

假如走完之後，你落在了某一個位置 $y<0$，那麼你會直接到達 $-y$ 的位置；假如你落在了某一個位置 $y>N$，那麼你會直接到達 $2 \times N-y$ 的位置。

現在你按照上述規則，隨機遊走了$K$步。請你求出，你最終到達每個點的概率在模 $998244353$ 意義下的結果。顯然，最終到達的一定是 $0$ 到 $N$ 之間的某一個整點。

Subtask 1 (3pts)：$K=0$。

Subtask 2 (12pts)：$N \le 100,K \le 5000$

Subtask 3 (23pts)：$N \times K \le 5 \times 10^{5}$

Subtask 4 (11pts)： $ \forall 2 \le i \le N,A_i=0$

Subtask 5 (27pts)： $N \le 10^3$

Subtask 6 (24pts)：無特殊限制。

對於全部數據： $1 \le N \le 10^5, 0 \le K \le 10^{18},1 \le \sum_{i=1}^{N}{A_i} \le 10^8$

題解

考慮遊走的過程，發現是一個碰壁就回退的循環，考慮構造循環卷積。如果循環節是n顯然不太行，發現從$0$到$n$再回到$0$可看作一個循環節，於是構造一個長度爲$2n$的多項式，$0$到$n$項依次是$0,...,n$代表從$0$走到$n$，後$n-1$項依次是$n-1,...,1$代表從$n$走到$0$。由於兩個方向的概率都是$1/2$，這樣向原來方向走相當於右移，向相反方向走相當於左移，如果越界的話則在$\%2n$的意義下是等價的，故直接循環卷積快速冪即可。