動態規劃的入門理解&例子（LIS、最小編輯距離）

關於動態規劃的講解有很多材料，這裏只是按照我自己的理解來表述動態規劃。可能並不詳細，也不一定完全準確。這裏主要通過兩個例子LIS和最小編輯距離進一步加深對於動態規劃的直觀理解。

1. 動態規劃入門理解

• 動態規劃方法是把問題向前分解，想要解決一個問題，需要先解決這個問題的子問題，那麼要解決子問題，又需要解決子問題的子問題。通過先解決最小的子問題，再不斷的解決更上一層的問題，那麼就可以解決最終的問題。

• 欲用動態規劃解決問題，首先需要對問題進行定義，利用數學語言描述問題。然後再對問題進行求解，求解的過程中是先求解小問題，再利用小問題的解去求解大問題。這是動態規劃中常用的流程。

• 對問題的定義和求解小問題再求解大問題，其實就是定義狀態和解決狀態轉移。下面就用兩個例子（LIS和最小編輯距離）來解釋如何定義問題的狀態以及推導狀態轉移公式。

2. LIS（最長遞增子序列）

• LIS問題是求一個長序列的子序列，使的這個子序列是遞增的，且是所有遞增的子序列中最長的。比如對於序列2 5 4 9 10 6 7 8 11，最長遞增子序列有兩個，2 5 6 7 8 11和 2 4 6 7 8 11。最長遞增子序列問題有時候是隻需要知道長度即可，對於前面的序列，最長遞增子序列的長度是唯一的，即=6。

• 當然LIS問題是可以用動態規劃的思想來解決的。那麼首先思考如何定義問題的狀態。最容易想到的定義如下：

dk$d_k$ : 表示序列前k項的最長子序列

• 對於這個定義，很明顯，子問題就是dk−1$d_{k-1}$ ,dk−2$d_{k-2}$ 等，分別表示前k−1$k-1$ 和前 k−2$k-2$ 項的最長子序列。對問題進行定義後，是否合適呢？能否通過該定義推導出狀態轉移呢？如果對於每一項都求最長的子序列，並且狀態轉移使用ak$a_k$ 項和其它的最長子序列相比較的方式，選擇是否把ak$a_k$ 項加入。

• 對於序列2 5 4 9 10 6 7 8 11

第一項：2
第二項：2 5
第三項：2 5
第四項：2 5 9
第五項：2 5 9 10
第六項：2 5 9 10
第七項：2 5 9 10
….

從這裏就可以看出來，該種狀態的定義和狀態轉移的定義是有問題的。6 7 8 這幾項不能發揮作用了。

• 因此這裏選擇另外一種定義：

dk$d_k$ : 表示以第k項結尾的最長子序列

• 那麼求出所有以1,2,3,4,5…,N項結尾的最長子序列後，選擇最長的作爲輸出即可。那麼對於這種狀態的定義，狀態的轉移是什麼樣子的呢？

hi=⎧⎩⎨⎪⎪[di,ak],ifak>aiak,other$$h_i=\{\begin{array}{l}[d_i,a_k],if{a}_k>a_i\\ \\ a_k,other\end{array}$$

dk=hargmaxilen(hi)$$d_k=h_{argma{x}_{i}len(h_i)}$$

也就是，求解序列[a1$a_1$ , a2$a_2$ , a3$a_3$ , …, ak$a_k$ ]的最長遞增子序列，可以通過[a1$a_1$ , a2$a_2$ , a3$a_3$ , … ak−1$a_{k-1}$ ]序列、[a1$a_1$ , a2$a_2$ , a3$a_3$ , … ak−2$a_{k-2}$ ]、[a1$a_1$ , a2$a_2$ ]和[a1$a_1$ ]的最長遞增子序列得到。要求長度爲k的序列的[a1$a_1$ , a2$a_2$ , a3$a_3$ , …, ak$a_k$ ]最長遞增子序列，需要先求出序列[a1$a_1$ , a2$a_2$ , a3$a_3$ , …, ak−1$a_{k-1}$ ]中以各元素(a1$a_1$ ,a2$a_2$ ,ak−1$a_{k-1}$ )作爲最大元素的最長遞增序列，然後把所有這些遞增序列與ak$a_k$ 比較，如果序列的末尾元素比ak$a_k$ 要小，則將元素ak$a_k$ 加入這個遞增子序列，如果序列末尾的元素比ak$a_k$ 大，則取ak$a_k$ ，那麼現在所有的序列都是以ak$a_k$ 結尾的，取出序列長度最長的作爲以第k項結尾的最長遞增子序列。（這裏可能會出現兩個序列長度一樣的情況，那麼可以隨機選一個，或者是選擇第一個）。

• 對於前面的序列2 5 4 9 10 6 7 8 11，求解順序如下（存在兩個一樣長的序列時，選擇第一個）：

第一項：2
第二項：2 5
第三項：2 4
第四項：2 5 9
第五項： 2 4 9 10
第六項：2 5 6
第七項：2 5 6 7
第八想：2 5 6 7 8
第九項：2 5 6 7 8 11

• 另外，如果是求子序列，那麼是一邊計算，也是一邊需要保存各項的子序列的。如果是隻求子序列的長度，那麼只需要保存長度即可。

• 採用這種方式求解最長遞增子序列，時間複雜度爲O(N2)$O(N^2)$ ，還有更快的，時間複雜度爲O(NlogN)$O(NlogN)$ 的算法，這裏就不再解釋了。

3. 最小編輯距離

• 最小編輯距離的問題，比較普遍，在平常的編碼過程中經常可能會遇到這個問題。最小編輯距離是指把字符串A轉換成字符串B所需要的最少操作數，這裏的操作包括刪除字、增加字、替換字三種操作。

• 比如小明讓小紅告訴小剛：“今天天氣真好啊”，而小紅卻告訴小剛：“今天正好呀哈”。 那麼就可以用最小編輯距離表示這兩句話的區別。這裏，增加“天”字，增加“氣”字，修改“正”爲“真”，修改“呀”爲”啊”，刪除“哈”字。那麼最小編輯距離爲5。

• 要用動態規劃的思想解決該問題，同樣需要考慮如何定義狀態和建立狀態轉移公式。

首先對問題進行定義：

di,j$d_{i,j}$ : 表示從句子A的前i個字轉移到句子B的前j個字的最小編輯距離

狀態轉移公式如下(假設句子A有N個字符，而句子B有M個字符)：

di,j=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪j,if(i=0,j=0,1,2,3,...,M)i,if(j=0,i=0,1,2,3,...,N)max(di−1,j+1,di,j−1+1,di−1,j−1+issame)i=1,2,3,...,N,j=1,2,3,...,M$$d_{i,j}=\{\begin{array}{lr}j,if(i=0,j=0,1,2,3,...,M)& \\ i,if(j=0,i=0,1,2,3,...,N)\\ max(d_{i-1,j}+1,d_{i,j-1}+1,d_{i-1,j-1}+issame)i=1,2,3,...,N,j=1,2,3,...,M\end{array}$$

其中

issame={1,ifA[i]!=B[j]0,ifA[i]==B[j]$$issame=\{\begin{array}{l}1,ifA[i]!=B[j]\\ 0,ifA[i]==B[j]\end{array}$$

更詳細的最小編輯距離算法的說明，可以參考博客https://blog.csdn.net/qq_34552886/article/details/72556242