数据结构算法——位运算相关知识及示例

    理解位运算的第一步是理解二进制。二进制是指数字的每一位都是1或者0。比如十进制的2转换成二进制之后是10，而十进制的10转换成二进制之后是1010。在程序员圈子中有一则流传了很久的笑话，说世界上有10种人，一种人知道二进制，而另一种人不知道二进制……

    其实二进制的位运算并不是很难掌握，位运算总共只有5种运算：与/或/异或/左移/右移。如下表：

    左移运算m << n 表示把 m 左移 n 位。左移 n 位的时候，将左边的 n 位丢弃，同时在最右边补上 n 个 0。比如：

00001010 << 2 = 0010100

10001010 << 3 = 01010000

    右移运算符 m >> n 表示把 m 右移 n 位。在右移 n 位时候，最右边的 n 位将被丢弃，同时处理左边位的情形稍微复杂一点。如果数字是一个无符号数值，则用 0 填补最左边的 n 位；如果数字是一个有符号数值，则用数字的符号位填补最左边的 n 位。也就是说如果数字原先是一个证书，则右移之后在最左边补 n 个 0 ；如果数字原先是附属，则右移之后在最左边补 n 个1。 比如：

00001010 >> 2 = 00000010

10001010 >> 3 = 11110001

面试题：二进制中 1 的个数

题目： 请实现一个函数，输入一个整数，输出该数二进制表示中 1 的个数。例如： 把9表示成二进制是1001，有2位是1。因此，如果输入9，则该函数输出2。

可能引起死循环的解法

基本思路： 先判断整数二进制表示中的最右边一位是不是1：接着把输入的整数右移一位，此时原来处于右边数起的第二位被移到最右边了，再判断是不是1：这样每次移动一位，知道整个整数变成0为止。如果一个整数与1做与运算的结果是1，则表示该整数最右边一位是1，否则是0。基于这种思路，代码如下：

int NumberOf1(int n)
{
    int count = 0;
    while(n)
    {
        if ( n & 1){
            count++;
        }
        n = n >> 1;
    }
    return count;
}

    在上述代码中，使用右移1位的运算代替除以2的操作在实际代码运行时候效率更高。因为除法的效率比移位运算要低得多，在实际编程中应尽可能地用移位运算符代替乘除法。然而上述代码确没有考虑到负数的情况。如果输入一个负数，比如0x80000000，则运行时候会发生什么情况？当把负数0x80000000右移一位的时候，并不是简单地把最高位的1移到第二位变成0xC0000000。因为移位前是一个负数，仍要保证移位后是一个负数，因此移位后的最高位会设为1。如果一直做右移运算，那么最终这个数字就会变成0xFFFFFFFF而陷入死循环。

常规解法

    为了避免死循环，我们可以不右移输入的数字 n 。首先把 n 和 1 做与运算，判断 n 的最低位是不是1。接着把 1 左移一位得到2， 再和 n 做与运算，就能判断 n 的次低位是不是 1 ……这样反复左移，每次都能判断 n 的其中一位是不是1。基于这种思路，我们可以把代码修改为：

int NumberOf1(int n){
    int count =0;
    unsigned int flag =1;
    while(flag){
        if( n & flag){
            count++;
        }
        flag=flag << 1;
    }
    return count;
}

    注意在这个解法中循环的次数等于整数二进制的位数，32位的整数需要循环32次。即：循环终止的条件是flag为0, 在32位操作系统上，unsigned int的最大赋值是2^31=2147483647，当2^32时候超过最大值flag被赋予0。

能给面试官带来惊喜的解法

    常规解法的时间复杂度是O(32），需要循环32次，下面的解法只需要几遍循环即可（有几个1就循环几次）。

    我们先分析一下把一个数减去1的情况。如果这个整数不等于0，那么该整数的二进制表示中至少有一位是1。假设这个数的最右边一位是1，那么减去1时，最后一位变成0而其它位都保持不变。也就是最后一位相当于做了取反操作，由1变成了0。

    接下来假设最后一位不是1而是0的情况。如果该整数的二进制表示中最右边的1位于第m位，那么减去1时，第m位由1变成0，而第m位之后的所有0都变成1，整数中的第m位之前的所有位都保持不变。举个例子：一个二进制数1100，它的第二位时从最右边数起的第一个1。减去1后，第二位变成0，后面两位0变成1，前面的1保持不变，因此得到的结果时1011。

    前面的两种情况中，我们发现把一个整数减去1，都是把最右边的1变成0，如果它的右边还有0，则把所有的0都变成1，它左边的所有位都保持不变。接下来我么把一个整数和它减去1的结果做位与运算，相当于把它最右边的1变成0。还是以前面的1100为例，它减1的结果位1011。把1100和1011做位与运算，得到的结果时1000。我们把1100最右边的1变成了0，结果刚好就是1000。

    把上面的分析总结起来就是：把一个整数减去1，再和原整数做与运算，会把该整数最右边的1变成0。那么一个整数的二进制表示中有多少个1，就可以进行多少次这样的操作。基于这样的思路，我们可以写出新的代码如下：

int NumberOf1(int n)
{
    int count=0;
    while(n){
        ++count;
        n = n & (n-1);
    }
    return count;
}

 相关拓展

• 用一条语句判断一个整数是不是2的整数次方。一个整数如果时2的整数次方，那么它的二进制表示中有且只有一位时1，而其它所有位都是0。根据前面的分析，把这个整数减去1之后再和它自己做与运算，这个整数中唯一的的1就会变成0。
• 输入两个整数m和n，计算需要改变m的二进制表示中的多少位才能得到n。比如10的二进制表示为1010，13的二进制表示为1101，需要改变1010中的3位才能得到1101。我们可以分两步解决这个问题：第一步求这两个数的异或；第二步统计异或结果中1的位数。

 

参考资料

《剑指offer第二版》