最長共同子序列 (Longest Common SubsequenceLCS)

1. 最長共同子序列 (Longest Common Subsequence; LCS)

• 給定兩個序列，找出兩個序列中存在的最長子序列的長度。子序列是指以相同的相對順序出現，但不一定是連續的序列 稱爲「最長共同子序列」(Longest Common Subsequence; LCS)」

• 示例：
  序列“ ABCDGH”和“ AEDFHR”的LCS爲長度3的“ ADH”。
  序列“ AGGTAB”和“ GXTXAYB”的LCS爲長度4的“ GTAB”。

解題思路

首先看一個2個字符串abcdefg和cef 要想求2個字符串最後一個位置的LCS，我們需要在下面3中情況中取最大值 如果最後一個字符不相等，則我們在下面兩種情況中取一個最大值

第一個字符串取最後一個位置和第二個字符串不取最後一個位置，即abcdefg和ce
第一個字符串不取最後一個位置和第二個字符串取最後一個位置，即abcdef和cef
如果最後一個字符相等，我們只需要把前面的子串的LCS長度（即abcdef和ce）加上最後一個最後一個字符是否相等，相等爲1，不等爲0。
這裏有一個問題就是，爲什麼當兩個字符串最後一個字符相等的時候，我們取了最終就一定可以得到LCS了？ 比如abcd和bdd，
如果我們兩個字符串都不取最後一個d，則剩下的串爲abc和bd，前面構成的LCS一定比取最後一個少1。
如果我們只取其中一個，則剩下的串有可能爲abcd和bd和abc和bdd，這2種情況的LCS最好也是和我們之前結果一樣。

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下面用簡單的遞歸來實現

def lcs(X, Y, m, n):
    if m == 0 or n == 0:
        return 0
    elif X[m - 1] == Y[n - 1]:
        return 1 + lcs(X, Y, m - 1, n - 1)
    else:
        return max(lcs(X, Y, m, n - 1), lcs(X, Y, m - 1, n))


X = "AGGTAB"
Y = "GXTXAYB"
print("Length of LCS is ", lcs(X, Y, len(X), len(Y)))

考慮到上述實現，以下是針對輸入字符串“ AXYT”和“ AYZX”

                         lcs（“ AXYT”，“ AYZX”）
                       /              \
         lcs（“ AXY”，“ AYZX”）lcs（“ AXYT”，“ AYZ”）
         /             \           /       \
lcs（“ AX”，“ AYZX”）lcs（“ AXY”，“ AYZ”）lcs（“ AXY”，“ AYZ”）lcs（“ AXYT”，“ AY”）

在上面的部分遞歸樹中，lcs（“ AXY”，“ AYZ”）被求解兩次。如果我們繪製完整的遞歸樹，則可以看到有很多子問題可以一次又一次地解決。因此，此問題具有“重疊子結構”屬性，並且可以通過使用“記憶化”或“製表”來避免重新計算相同子問題。以下是LCS問題的列表實現。

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上述天真的遞歸方法的時間複雜度在最壞的情況下爲O（2 ^ n），最壞的情況發生在X和Y的所有字符不匹配（即LCS的長度爲0）時。

def lcs(X, Y):
    m = len(X)
    n = len(Y)
    # m,n都加1 確保m/n爲空的case
    dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]

    for i in range(m + 1):
        for j in range(n + 1):
            if i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 0
            elif X[i - 1] == Y[j - 1]:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])
    print(dp)
    return dp[m][n]

X = "AGGTAB"
Y = "GXTXAYB"
print("Length of LCS is ", lcs(X, Y))

上述實現的時間複雜度爲O（mn），比遞歸實現的最壞情況下的時間複雜度好得多。