00特殊情况说明

在2020年春季学期，由于受到Coronavirus-19的影响，考试采用网络考试的形式：

通过网络学堂分发试卷和收集答案；
考试通过腾讯会议进行监考过程；
考试时间6月13日下午2:30-4:45

在试卷的第一页有“考试诚信承诺书”需要参试学生必须誊写在答题纸上的第一页。

^{▲ 网络考试诚信承诺书试卷布置情况}

01不定项选择题答案表格

一、不定项选择题：（10×1=10分，将答案写在试卷前面的答案表格1中）

下面信号中，那些是能量有限信号？

2、下面信号中，那些是周期信号？

下面系统中，属于时不变系统的包括哪些？其中 $x\left( t \right),x\left( t \right)$ 为系统的输入， $y\left( t \right),y\left[ n \right]$ 为系统的输出。

4、下面各图中LTI系统函数的零极点分布，所描述的幅频特性为带阻系统为：

5、已知LTI系统在 $x\left( t \right)$ 作用下系统零状态输出为 $y\left( t \right)$ 。那么在 $x_1 \left( t \right)$ 作用下，系统的零状态输出为：

6、已知实信号 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ 之间的关系为

下面关于信号 $y\left( t \right)$ 的频谱 $Y\left( \omega \right)$ 叙述正确的是：

7、下面半边周期冲激序列的拉普拉斯变换为：

8、可能与下面s平面区域对应的z平面区域为（）：
9、如果模拟信号在采样频率 $\omega _s$ 下进行采样，转换成数字信号。那么其中模拟频率为 ${{\omega _s } \over 3}$ 的信号在采样后对应的数字信号频率（归一化频率）为：

10、下面周期信号中的频率成分包括有：

02判断对错题答案表格

1、如果 $x\left( t \right)$ 的Nyquist频率为 $\omega _N$ ，那么 $x^2 \left( t \right)$ 的Nyquist频率为 $2 \cdot \omega _N$ 。

2、不存在信号本身与它的频谱都是有限长的信号。

3、有限冲激响应（FIR）滤波器的传递函数的分母是常量。

4、如果一个线性时不变离散时间系统的系统函数的收敛域包含单位圆，则系统是BIBO稳定的。

5、如果稳定最大相位的LTI系统函数具有靠近虚轴的零点，那么在零点对应虚轴所在的频率附近，系统的幅频特性有一个低谷，相位呈现下降趋势。

03填空题

1、已知两个序列 $u\left[ n \right],v\left[ n \right]$ 的波形如下图所示，请写出它两的卷积 $w\left[ n \right] = u\left[ n \right] * v\left[ n \right]$ 在 $n = 2$ 时的取值： $w\left[ 2 \right] = \,\,\,1$ .

2、一个线性时不变系统的输入输出分别 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ ，它们之间的关系可以由下面的微分方程所描述：

其中 $w\left( t \right)$ 是中间变量。
那么该系统的系统函数为________。

系统的单位冲激响应 $h\left( t \right) = - \sin \left( t \right) \cdot u\left( t \right)$ 。

3、知信号 $x\left( t \right)$ 的波形如下图所示，则该信号的拉普拉斯变换的表达式和响应的收敛域为：

收敛域为整个s平面。

4、已知连续时间LTI系统的单位冲激响应信号波形如下图(A)_{(F)所示，在下图后面给出了六种零极点分布示意图(1)}(6)，请按照(A)~(F)对应单位冲激响应波形写出对应系统零极点分布顺序:（4），（5），（6），（1），（2），（3）。

5、已知离散时间LTI系统的零极点分布如下面(1)_{(6)图所示意。在下图后面又给出了六种单位冲激响应序列波形图(A)}(F)。请写出(1)~(6)种零极点分布所对应的系统单位冲激响应序列的顺序：（D）,（E），（F），（A），（B），（C）。

6、已知离散时间序列 $x\left[ n \right]$ 的表达式为： $x\left[ n \right] = \sum\limits_{k = 0}^\infty {a^k \delta \left[ {n - 5k} \right]}$ ，对应序列的图像为：

该序列信号的Z变换：

7、如果正弦波 $x_a \left( t \right) = \cos \left( {50t} \right)$ 被采样，采样频率为 $\omega _s = 30\,rad/s$ 。采样后的数据再经过DAC（数模转换）被转换成模拟信号。DAC的转换速率也是 30 rad/s。那么转换后重构的正弦信号的频率为： 10 rad/s 。

8、已知信号 $x\left( t \right)$ 的拉普拉斯变换为:

则信号的初值 $x\left( {0_ + } \right) = - 3$ ，信号的终值： $x\left( { + \infty } \right) = 0.5$ 。

04简答题

1、请解释什么叫做"吉布斯现象"，举例说明与"吉布斯现象"相关的物理现象。
"吉布斯现象"的一种解释：使用周期信号的有限项频谱合成的信号，如果原来的周期信号有间断点，合成信号在间断点出有过冲。过冲幅值大约是信号间断点跳跃幅值的9%左右。随着合成项数增加，过冲幅值维持在9%左右

举例：可以结合在现实生活中对应的有限带通系统在观察信号所出现的“振铃”现象进行说明，或者通过物理中的傅里叶光学现象来阐述光的衍射现象等。

2、请解释什么叫做"频率泄露"，并说明如何减少频率泄露现象对信号分析的影响。
对信号进行截取，截取后的信号频谱会出现"频率泄露"现象。信号频谱的高频段和低频段都会出现波动，并会出现过渡带。
下图显示了截取的sinc函数所对应的频谱出现的"频率泄露"现象。

回答体重需要包括产生“频率泄露”的原因来自于对信号的截取；“频率泄露”的现象反映在频谱的波动以及有过渡带等方面。
在减少频谱泄露对信号分析的影响方面需要包括有：扩大采集信号的时间窗口长度、使用光滑窗口对数据进行平滑等。

3、如果已知线性时不变系统的单位冲激相应信号，请说明如何判断系统的因果性、稳定性、可逆性、即时或者动态性。

通过语言或者公式对于LTI系统的单位冲激响应与系统的因果、稳定、可逆、即时动态等特性进行论述。

05计算题

1.小题1

已知信号 $x\left( t \right)$ 的表达式为：

求信号的面积 $A = \int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)dt} = ?$

提示：

求解：

假设 $X\left( \omega \right) = F\left\{ {x\left( t \right)} \right\}$ ，有傅里叶的定义可以知道信号 $x\left( t \right)$ 的面积为：

由分拆踹的变换频域卷积定理可知：
由：

所以：

为：

所以：
信号的面积为： $\int_{ - \infty }^\infty {x\left( t \right)dt} = 1$ 。

2.小题2

已知连续时间信号 $x\left( t \right),y\left( t \right)$ 如下图所示，请写出它们的卷积结果 $z\left( t \right) = x\left( t \right) * y\left( t \right)$ 的表达式，并绘制出结果的信号波形。

求解：

根据卷积定义，首先将两个信号的变量由 $t$ 修改成 $\lambda$ 。然后在选择其中一个信号进行反转平移。在这里选择 $x\left( \lambda \right)$ 进行反转：

然后平移 $x\left( { - \lambda } \right)$ ，形成 $x\left( {t - \lambda } \right)$ 。

（1）当 $t \le - 1$ 或者 $t \ge 2$ 的时候， $x\left( {t - \lambda } \right),y\left( \lambda \right)$ 没有交集，卷积结果 $z\left( t \right) = 0$ 。

（2）当 $- 1 \le t \le 0$ 时：

（3）当 $0 \le t{\kern 1pt} < 1$ 时：

（4）当 $1 \le t \le 2$ 时：

最后，将所有的结果写在一起：

3.小题3

已知某一z 变换的象函数

收敛域为 $1 < \left| z \right| < 2$ ，求出原序列。

求解：

对 $X\left( z \right)$ 进行因式分解：

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-06-18
#
# Note:
#============================================================
from headm import *
from sympy                  import abc,apart,print_latex
z=abc.z
numerator=2*z**3-5*z**2+z+3
denominator = (z-2)*(z-1)
print_latex(apart(numerator/denominator/z))
tspexecutepythoncmd('msg2latex')
#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

根据收敛域 $1 < \left| z \right| < 2$ 可以知道 $x\left[ n \right]$ 为：

解法二：

根据z逆变换公式：

因此 $x\left[ n \right]$ 就是求 $X\left( z \right) \cdot z^{n - 1}$ 的留数。根据n取值不同，下式

的具有不同的围线内的极点分布：
当 $n \ge 1$ 时，上式具有 $z = 1$ 处的极点，所以：

当 $n = 0$ 时， $z = 0$ ， $z = 1$ 是围线积分中的两个极点：
${\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 0} = \left. {{{2z^3 - 5z^2 + z + 3} \over {\left( {z - 1} \right)\left( {z - 2} \right)}}} \right|_{z = 2} = 1.5$ ${\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 1} = - 1$

所以： $x\left[ 0 \right] = 0.5$ 。
当 $n < 0$ ，根据留数第二定理，通过计算围线之外极点的留数，取负之后获得积分数值：
$x\left[ n \right] = {\mathop{\rm Re}\nolimits} s\left[ {X\left( z \right) \cdot z^{n - 1} } \right]_{z = 2} = - 2^{n - 1} u\left[ { - n - 1} \right]$

综上所示：

4.第四小题

已知离散时间线性时不变系统的频率特性为： $H\left( {e^{j\Omega } } \right) = j.\tan \left( \Omega \right)$ 。
请写出该离散时间统对应的差分方程。

求解：

根据：

所以：

将其中 $e^{j\Omega }$ 替换成z，可以得到系统的传递函数：

所以离散时间系统对应的差分方程为：

06计算卷积

已知序列 $x\left[ n \right] = [1,2,3,4,5],\,\,h\left[ n \right] = \left[ {1,0,1,1} \right]$ 。
求：
（1） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] * h\left[ n \right]$
（2） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right]$
（3） $y\left[ n \right] = x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right]$

说明：序列 $x\left[ n \right],h\left[ n \right]$ 中第一个数字对应下标 $n = 0$ 。
运算符号 $\otimes _7 , \otimes _8$ 分别表示周期为7和8 的圆卷积。

求解：

（1） $x\left[ n \right] * h\left[ n \right] = \left[ {1,2,4,7,10,7,9,5} \right]$
（2） $x\left[ n \right] \otimes _7 h\left[ n \right] = \left[ {6,2,4,7,10,7,9} \right]$
（3） $x\left[ n \right] \otimes _8 h\left[ n \right] = \left[ {1,2,4,7,10,7,9,5} \right]$