LintCode-4 Keys Keyboard 數學解法

867. 4 Keys Keyboard

Imagine you have a special keyboard with the following keys:

Key 1: (A): Print one ‘A’ on screen.

Key 2: (Ctrl-A): Select the whole screen.

Key 3: (Ctrl-C): Copy selection to buffer.

Key 4: (Ctrl-V): Print buffer on screen appending it after what has already been printed.

Now, you can only press the keyboard for N times (with the above four keys), find out the maximum numbers of ‘A’ you can print on screen.

注意事項

1. 1 <= N <= 50
2. Answers will be in the range of 32-bit signed integer.

樣例

Given N = 3, return 3.

Explanation: 
We can at most get 3 A's on screen by pressing following key sequence:
A, A, A

Given N = 7, return 9.

Explanation: 
We can at most get 9 A's on screen by pressing following key sequence:
A, A, A, Ctrl A, Ctrl C, Ctrl V, Ctrl V

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做的時候感覺應該有什麼規律，沒用dp做，憋了半天總算找出來了
結論是將N+1分解成整數個5和整數個4，不能滿足的情況（N<=6,N=10）單列出來，有多少個4就乘多少個3，有多少個5就乘多少個4，兩者乘積就是答案。

分析：
首先，N<=6時最大字符數即爲N，A的輸入次數<=5，且只會在一開始輸入，一旦開始CV操作便不會再輸入。
Ctrl+A，Ctrl+C，Ctrl+V一套下來會使之前的字符數*2，如果再加一個Ctrl+V就是*3（4次操作），再加一個是*4（5次操作），最多到*5（6次操作）。
因爲五次Ctrl+V（7次操作）即n*6等同於n*2*3，沒有意義。
因此，例如N=12可以拆分爲4（輸入3次A，3次操作）*3（CtrlA，CtrlC，CtrlV，CtrlV，4次操作）*3（同上，4次操作）
可以發現，複製時的操作次數-1=複製次數，而輸入的操作次數=字符數；
但輸入只進行一次，因此可以在一開始就將N+1，方便後面的計算。

另一方面，n*5在大部分情況下可以轉化：
n*3*5(n*15)=n*4*4(n*16);(4+6=5+5操作次數)，後者字符數更多
n*4*4*5(n*80)=n*3*3*3*3(n*81);(5+5+6=4+4+4+4)，後者字符數更多
n*3*4*5=n*4*4*4，同第一種情況
……
可以看出，*5操作唯有在N=5和N=10（N+1==11，操作次數11=5+6=>4*5）時不能轉化，必須使用，做一個判斷即可。
綜上，算法需要求儘可能多的*4，而前提是需要有足夠更多的*3操作來保證操作次數正好用完，因此需要求一個整數線性規劃：

min x/max y
S.T.
4x+5y=N(x爲*3次數，y爲*4次數)
x,y∈Z+

class Solution {
public:
    /**
     * @param N: an integer
     * @return: return an integer
     */
    int maxA(int N) {
        // write your code here
        if(N<=6) return N;
        N++;
        if(N-1==10) return 20;
        for(int n3=0;n3<=N/4;n3++)
        {
            if((N-n3*4)%5==0) return pow(3,n3)*pow(4,(N-n3*4)/5);
        }
    }
};