【2017 BSUIR Semifinal D】Friends rescue 題解

題目大意

  有一個池塘，中間有 $n$ 行 $n+1$ 列的石頭陣。
  連邊只能連相鄰的格子，相鄰定義爲四連通。
  現在左邊第一列石頭已經跟左邊大陸 $L$ 相連，右邊最後一列石頭已經跟右邊大陸 $R$ 相連。問剩下的有多少種連邊方式，使得 $L$ 與 $R$ 連通。

  $n \leq 42$

$\\$
$\\$
$\\$

題解

  觀察能力是真nmd缺啊。。。

  看這個圖

  綠色邊不影響連通性，先不考慮。
  我們要連的是紅色的邊，考慮把這幅圖的對偶圖做出來（藍邊），如果某一條紅邊沒有連上，那麼就把對應的藍邊連上。
  於是就會發現，每一種連邊方案，要麼 $LR$ 連通，要麼 $UD$ 連通。
  進而發現，紅邊的規模跟藍邊的規模是完全一樣的，也就是說，任意一種 $LR$ 連通的方案，都可以翻轉一下，成爲一種 $UD$ 連通的方案，反之亦然。
  所以 $LR$ 連通的方案數等於 $UD$ 連通的方案數。
  所以 $LR$ 連通的方案數等於（紅邊的）總方案數除以 $2$，再乘上綠邊的方案數。