機器學習：手寫數字識別(Hand-written digits recognition)小項目

該項目的所有代碼在我的github上，歡迎有興趣的同學與我探討研究~

地址：Machine-Learning/machine-learning-ex3/

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1. Introduction

• 手寫數字識別(Hand-written digits recognition)，顧名思義，就是將帶有手寫數字的圖片輸入到已經訓練過的機器，且機器能夠很快識別圖片中的手寫數字，並將之作爲輸出打印出來。

• 實現原理：

  • 現以我個人的理解，來描述一下手寫數字識別的實現原理。

  • 首先，要實現機器學習，前提是要有充足的數據。對於本實驗，要有充足的手寫數字圖片作爲訓練集進行模型的訓練；

  • 其次，要能夠提取手寫數字圖片的特徵，這就涉及到了數字圖像處理。對於本實驗，我使用的是已經提取好圖片特徵的訓練集。每張手寫數字圖片的分辨率20x20，將其特徵值以一維的形式存在文件中，即訓練集中每個example 有400個features。我使用的訓練集一共有5000行，即有5000個手寫圖片。

  • 接着，就是本次實驗的核心了— 模型的訓練。本實驗我分別使用兩個模型實現了手寫數字識別：一個是正規化後的邏輯迴歸模型，另一個是神經網絡模型。但是，只有邏輯迴歸模型我實現了完整的過程，即包括模型的訓練。對於神經網絡模型，我直接使用的是訓練好的參數。對於神經網絡的訓練，我在下一篇博文中會實現。

  • 對於模型的訓練，可以通過梯度下降法或者其它優化函數來訓練。當Cost Function接近0時，得到訓練後的參數。

  • 完成模型的訓練後，要進行預測準確率的計算。將訓練集中的圖片feature作爲特徵值輸入目標函數，得到預測的結果。然後將預測的結果與訓練集中圖片feature對應的真實結果進行比較，計算預測的準確率。

  • 對於手寫數字的預測，涉及到的是一個multi-outcomes的邏輯迴歸函數，使用的是oneVsAll的方法，即定義多個邏輯迴歸分類器，每個邏輯迴歸分類器只有兩個結果：1和0。0~9都有對應的分類器，使得它們在分類器中的輸出爲1。所以，每輸入一張圖片的features，都會得到10個分類器的值，而這10個分類器中擁有最高值的，其對應的數字便是圖片中的數字，因爲只有在對應分類器中才能得到較高的評分。

  • 當準確率達到一個較高值時，就可以進行手寫數字識別了。

  • 以上便是手寫數字識別的實現原理

• 對於two-outcomes的邏輯迴歸問題， 只需要訓練一個邏輯迴歸分類器；

• 對於multi-outcomes的邏輯迴歸問題，需要使用oneVsAll的方法，即同時訓練多個邏輯迴歸分類器。

• 而神經網絡模型，對解決Non-linear Hypotheses非常有效。

• 對於該模型，以下幾點值得關注：

• 神經網絡能夠構造複雜的Non-linear Hypotheses的原因(層數越多，函數構造越複雜)；

  Adding all these intermediate layers in neural works allows us to more elegantly produce interesting and more complex non-linear hypotheses.

• 神經網絡的分層：輸入層、隱藏層(一層或多層)、輸出層;

• 神經網絡層與層的關係也是基於Sigmoid函數，稱爲Sigmoid activation function；

• 神經網絡層與層之間的參數theta，尤其是它的規格mxn;

• 神經網絡中的“bias unit”一般設置爲1；

• 神經網絡的呈現：一般化表示和向量化表示；

2. 邏輯迴歸模型實現手寫數字識別

主函數：

%% Initialization
clear ; close all; clc

%% Setup the parameters you will use for this part of the exercise
input_layer_size  = 400;  % 20x20 Input Images of Digits
num_labels = 10;          % 10 labels, from 1 to 10
                          % (note that we have mapped "0" to label 10)

%% =========== Part 1: Loading and Visualizing Data ============
% Load Training Data
fprintf('Loading and Visualizing Data ...\n')

% 該數據文件裏存儲了Matrix X(5000x400), 向量y。其中X的每一行代表一張20x20的圖片
% 即X包含5000張圖片的數據
load('ex3data1.mat'); % training data stored in arrays X, y
m = size(X, 1);

% Randomly select 100 data points to display
% 把1到m這些數隨機打亂得到的一個數字序列，是一個行向量。
% 在數列中取100個數據，即取X中100行數據，也就是100張20x20的圖
rand_indices = randperm(m);
sel = X(rand_indices(1:100), :);

displayData(sel);

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

%% ============ Part 2a: Vectorize Logistic Regression ===========
% Test case for lrCostFunction
fprintf('\nTesting lrCostFunction() with regularization');

theta_t = [-2; -1; 1; 2];
X_t = [ones(5,1) reshape(1:15,5,3)/10];
y_t = ([1;0;1;0;1] >= 0.5);
lambda_t = 3;
[J grad] = lrCostFunction(theta_t, X_t, y_t, lambda_t);

fprintf('\nCost: %f\n', J);
fprintf('Expected cost: 2.534819\n');
fprintf('Gradients:\n');
fprintf(' %f \n', grad);
fprintf('Expected gradients:\n');
fprintf(' 0.146561\n -0.548558\n 0.724722\n 1.398003\n');

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;
%% ============ Part 2b: One-vs-All Training ============
fprintf('\nTraining One-vs-All Logistic Regression...\n')

lambda = 0.1;
[all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels, lambda);

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;


%% ================ Part 3: Predict for One-Vs-All ================

pred = predictOneVsAll(all_theta, X);

fprintf('\nTraining Set Accuracy: %f\n', mean(double(pred == y)) * 100);

Part1: 將訓練集中圖片的features轉爲圖片呈現出來(隨機取100張圖片)

displayData.m

function [h, display_array] = displayData(X, example_width)
%DISPLAYDATA Display 2D data in a nice grid
%   [h, display_array] = DISPLAYDATA(X, example_width) displays 2D data
%   stored in X in a nice grid. It returns the figure handle h and the 
%   displayed array if requested.

% Set example_width automatically if not passed in
if ~exist('example_width', 'var') || isempty(example_width) 
    example_width = round(sqrt(size(X, 2)));
end

% Gray Image
colormap(gray);

% Compute rows, cols
[m n] = size(X);
example_height = (n / example_width);

% Compute number of items to display
display_rows = floor(sqrt(m));
display_cols = ceil(m / display_rows);

% Between images padding
pad = 1;

% Setup blank display
display_array = - ones(pad + display_rows * (example_height + pad), ...
                       pad + display_cols * (example_width + pad));

% Copy each example into a patch on the display array
curr_ex = 1;
for j = 1:display_rows
    for i = 1:display_cols
        if curr_ex > m, 
            break; 
        end
        % Copy the patch

        % Get the max value of the patch
        max_val = max(abs(X(curr_ex, :)));
        display_array(pad + (j - 1) * (example_height + pad) + (1:example_height), ...
                      pad + (i - 1) * (example_width + pad) + (1:example_width)) = ...
                        reshape(X(curr_ex, :), example_height, example_width) / max_val;
        curr_ex = curr_ex + 1;
    end
    if curr_ex > m, 
        break; 
    end
end

% Display Image
h = imagesc(display_array, [-1 1]);

% Do not show axis
axis image off

drawnow;

end

Part2a： 檢驗邏輯迴歸損失函數與梯度計算是否正確；

lrCostFunction.m

function [J, grad] = lrCostFunction(theta, X, y, lambda)
%LRCOSTFUNCTION Compute cost and gradient for logistic regression with 
%regularization
%   J = LRCOSTFUNCTION(theta, X, y, lambda) computes the cost of using
%   theta as the parameter for regularized logistic regression and the
%   gradient of the cost w.r.t. to the parameters. 

% Initialize some useful values
m = length(y); % number of training examples

% You need to return the following variables correctly 
J = 0;
grad = zeros(size(theta));

% ====================== YOUR CODE HERE ======================

% Calulate the function h, we know it's sigmoid function
h = sigmoid(X*theta);
% Calculate the cost function
J = 1/m*(-y'*log(h)-(1-y)'*log(1-h))+lambda/(2*m)*(sum(theta.^2)-theta(1)^2);
% Calculate the Gradient
grad = 1/m*X'*(h-y)+lambda/m*theta;
% It must start at 1
grad(1) = (1/m*X'*(h-y))(1);

Part2b：One-vs-All Training

模型的訓練：同時訓練10個邏輯迴歸分類器，使用一個for循環實現。

oneVsAll.m

function [all_theta] = oneVsAll(X, y, num_labels, lambda)
%ONEVSALL trains multiple logistic regression classifiers and returns all
%the classifiers in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta 
%corresponds to the classifier for label i
%   [all_theta] = ONEVSALL(X, y, num_labels, lambda) trains num_labels
%   logistic regression classifiers and returns each of these classifiers
%   in a matrix all_theta, where the i-th row of all_theta corresponds 
%   to the classifier for label i

% Some useful variables
m = size(X, 1);
n = size(X, 2);

% You need to return the following variables correctly 
all_theta = zeros(num_labels, n + 1);

% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];

% ====================== YOUR CODE HERE ======================

for c = 1:num_labels
  % Set Initial theta
  initial_theta = zeros(n+1, 1);
  % Set options for fminunc
  options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 50);
  % Run fmincg to obtain the optimal theta
  % This function will return theta and the cost
  % fmincg 也是優化方法中的一種，而且效率較之前的梯度下降法與fminunc更高
  [theta] = ...
      fmincg (@(t) (lrCostFunction(t, X, (y == c), lambda)), ...
              initial_theta, option)
  % 因爲theta是列向量，需要轉置一下存到all_theta的每一行
   all_theta(c, :) = theta'; 
end

% =========================================================================


end

Part3: Predict for One-Vs-All

根據訓練得到的參數進行預測。

predictOneVsAll.m

function p = predictOneVsAll(all_theta, X)
%PREDICT Predict the label for a trained one-vs-all classifier. The labels 
%are in the range 1..K, where K = size(all_theta, 1). 
%  p = PREDICTONEVSALL(all_theta, X) will return a vector of predictions
%  for each example in the matrix X. Note that X contains the examples in
%  rows. all_theta is a matrix where the i-th row is a trained logistic
%  regression theta vector for the i-th class. You should set p to a vector
%  of values from 1..K (e.g., p = [1; 3; 1; 2] predicts classes 1, 3, 1, 2
%  for 4 examples) 

m = size(X, 1);
num_labels = size(all_theta, 1);

% You need to return the following variables correctly 
p = zeros(size(X, 1), 1);

% Add ones to the X data matrix
X = [ones(m, 1) X];

% ====================== YOUR CODE HERE ======================
% max(A) 返回每列最大值
% max(A, [], 1) 也是返回每列最大值
% max(A, [], 2) 返回每行最大值
% 將訓練集直接帶入假設函數
[maxmum, p] = max(sigmoid(X*all_theta'), [], 2);

% =========================================================================


end

輸出結果：

從輸出結果可以看到正規化邏輯迴歸函數能夠正常運行，還可以看到One-Vs-All 對每個分類器訓練的具體細節。我們能發現，在迭代了50次之後，每個邏輯迴歸分類器的cost都接近於0，雖然還沒有達到忽略不計的程度，但已經能夠有較高的預測準確率了。如果有更多的數據，肯定能得到更小的cost，更高的預測準確率。

這裏訓練後的預測準確率爲95.02%

3. 神經網絡模型實現手寫數字識別

主函數：

%% Initialization
clear ; close all; clc

%% Setup the parameters you will use for this exercise
input_layer_size  = 400;  % 20x20 Input Images of Digits
hidden_layer_size = 25;   % 25 hidden units
num_labels = 10;          % 10 labels, from 1 to 10   
                          % (note that we have mapped "0" to label 10)

%% =========== Part 1: Loading and Visualizing Data =============
%  We start the exercise by first loading and visualizing the dataset. 
%  You will be working with a dataset that contains handwritten digits.
%

% Load Training Data
fprintf('Loading and Visualizing Data ...\n')

load('ex3data1.mat');
m = size(X, 1);

% Randomly select 100 data points to display
sel = randperm(size(X, 1));
sel = sel(1:100);

displayData(X(sel, :));

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

%% ================ Part 2: Loading Pameters ================
% In this part of the exercise, we load some pre-initialized 
% neural network parameters.

fprintf('\nLoading Saved Neural Network Parameters ...\n')

% Load the weights into variables Theta1 and Theta2
load('ex3weights.mat');

%% ================= Part 3: Implement Predict =================
%  After training the neural network, we would like to use it to predict
%  the labels. You will now implement the "predict" function to use the
%  neural network to predict the labels of the training set. This lets
%  you compute the training set accuracy.

pred = predict(Theta1, Theta2, X);

fprintf('\nTraining Set Accuracy: %f\n', mean(double(pred == y)) * 100);

fprintf('Program paused. Press enter to continue.\n');
pause;

%  To give you an idea of the network's output, you can also run
%  through the examples one at the a time to see what it is predicting.

%  Randomly permute examples
rp = randperm(m);

for i = 1:m
    % Display 
    fprintf('\nDisplaying Example Image\n');
    displayData(X(rp(i), :));

    pred = predict(Theta1, Theta2, X(rp(i),:));
    fprintf('\nNeural Network Prediction: %d (digit %d)\n', pred, mod(pred, 10));

    % Pause with quit option
    s = input('Paused - press enter to continue, q to exit:','s');
    if s == 'q'
      break
    end
end

Part1: 加載並可視化數據，與第二部分的part1一致

Part2： 加載權重，即加載神經網絡參數theta

這裏沒有涉及到神經網絡的訓練，而是直接使用已經訓練好的神經網絡參數。目的是對神經網絡的入門。在下篇博文就會完成神經網絡的訓練。

Part3： 利用神經網絡模型進行手寫數字預測

predict.m

function p = predict(Theta1, Theta2, X)
%PREDICT Predict the label of an input given a trained neural network
%   p = PREDICT(Theta1, Theta2, X) outputs the predicted label of X given the
%   trained weights of a neural network (Theta1, Theta2)

% Useful values
m = size(X, 1);
num_labels = size(Theta2, 1);

% You need to return the following variables correctly 
p = zeros(size(X, 1), 1);

% ====================== YOUR CODE HERE ======================

X = [ones(m,1) X];
% 第二層
temp = sigmoid(X*Theta1');
% 第三層
temp1 = sigmoid([ones(size(temp,1), 1) temp]*Theta2');
[maxmum,p] = max(temp1, [], 2);

% =========================================================================


end

以下是輸出樣例的舉例(由於訓練的圖片是20x20的，放大後有點模糊)：

識別樣例一：數字8

機器能準確識別數字8

機器能準確識別數字3

機器能準確識別數字5

輸出結果：

從輸出結果上看，訓練過的該神經網絡模型預測的準確率達到了97.52，還是十分不錯的。

4. Conclusion

現在來總結該項目的要點：

首先，要了解手寫數字識別的原理；

其次，要了解手寫數字識別實現的全過程；

然後，要了解oneVsAll以解決multi-outcomes的邏輯迴歸問題；

還有，要了解神經網絡的相關要點；

最後，還是要學會向量化！

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以上內容皆爲本人觀點，歡迎大家提出批評和指導，我們一起探討！

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