Task3
过拟合、欠拟合及其解决方案
训练误差、泛化误差
前者指模型在训练数据集上表现出的误差。
后者指模型在任意一个测试数据样本上表现出的误差的期望，并常常通过测试数据集上的误差来近似。
模型选择
验证数据集
从严格意义上讲，测试集只能在所有超参数和模型参数选定后使用一次。不可以使用测试数据选择模型，如调参。
由于无法从训练误差估计泛化误差，因此也不应只依赖训练数据选择模型。鉴于此，我们可以预留一部分在训练数据集和测试数据集以外的数据来进行模型选择。
这部分数据被称为验证数据集，简称验证集（validation set）。例如，我们可以从给定的训练集中随机选取一小部分作为验证集，而将剩余部分作为真正的训练集。
K折交叉验证
由于验证数据集不参与模型训练，当训练数据不够用时，预留大量的验证数据显得太奢侈。一种改善的方法是K折交叉验证（K-fold cross-validation）。在K折交叉验证中，我们把原始训练数据集分割成K个不重合的子数据集，然后我们做K次模型训练和验证。每一次，我们使用一个子数据集验证模型，并使用其他K-1个子数据集来训练模型。在这K次训练和验证中，每次用来验证模型的子数据集都不同。最后，我们对这K次训练误差和验证误差分别求平均。
过拟合欠拟合概念
一类是模型无法得到较低的训练误差，我们将这一现象称作欠拟合（underfitting）；
另一类是模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差，我们称该现象为过拟合（overfitting）。
在实践中，我们要尽可能同时应对欠拟合和过拟合。虽然有很多因素可能导致这两种拟合问题，在这里我们重点讨论两个因素：模型复杂度和训练数据集大小。
影响欠拟合和过拟合的另一个重要因素是训练数据集的大小。一般来说，如果训练数据集中样本数过少，特别是比模型参数数量（按元素计）更少时，过拟合更容易发生。此外，泛化误差不会随训练数据集里样本数量增加而增大。因此，在计算资源允许的范围之内，我们通常希望训练数据集大一些，特别是在模型复杂度较高时，例如层数较多的深度学习模型。
模型复杂度
import matplotlib.pyplot as plt
import torch
import torchvision
import torchvision.transforms as transforms
import time
import numpy as np
from d2lzh_pytorch.utils import *
import torch.nn as nn
from torch.nn import init
#生成人工数据集
n_train, n_test, true_w, true_b = 100, 100, [1.2, -3.4, 5.6], 5
features = torch.randn((n_train + n_test, 1))
poly_features = torch.cat((features, torch.pow(features, 2), torch.pow(features, 3)) , 1)
labels = (true_w[0] * poly_features[:, 0] + true_w[1] * poly_features[:, 1]
+ true_w[2] * poly_features[:, 2] + true_b)
labels += torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=labels.size()), dtype=torch.float)
#训练
num_epochs, loss = 100, torch.nn.MSELoss()
def fit_and_plot(train_features, test_features, train_labels, test_labels):
# 初始化网络模型
net = torch.nn.Linear(train_features.shape[-1], 1)
# 通过Linear文档可知，pytorch已经将参数初始化了，所以我们这里就不手动初始化了
# 设置批量大小
batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
dataset = torch.utils.data.TensorDataset(train_features, train_labels) # 设置数据集
train_iter = torch.utils.data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=True) # 设置获取数据方式
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01) # 设置优化函数，使用的是随机梯度下降优化
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter: # 取一个批量的数据
l = loss(net(X), y.view(-1, 1)) # 输入到网络中计算输出，并和标签比较求得损失函数
optimizer.zero_grad() # 梯度清零，防止梯度累加干扰优化
l.backward() # 求梯度
optimizer.step() # 迭代优化函数，进行参数优化
train_labels = train_labels.view(-1, 1)#转换shape,用于求loss
test_labels = test_labels.view(-1, 1)
train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).item()) # 将训练损失保存到train_ls中
test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).item()) # 将测试损失保存到test_ls中
print('final epoch: train loss', train_ls[-1], 'test loss', test_ls[-1])
#绘图
semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('weight:', net.weight.data,
'\nbias:', net.bias.data)
fit_and_plot(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :], labels[:n_train], labels[n_train:])
解决过拟合
权重衰减（加上L2范数惩罚项）
权重衰减等价于 𝐿2 范数正则化（regularization）。正则化通过为模型损失函数添加惩罚项使学出的模型参数值较小，是应对过拟合的常用手段。
def fit_and_plot_pytorch(wd):
# 对权重参数衰减。权重名称一般是以weight结尾
net = nn.Linear(num_inputs, 1)
nn.init.normal_(net.weight, mean=0, std=1)
nn.init.normal_(net.bias, mean=0, std=1)
optimizer_w = torch.optim.SGD(params=[net.weight], lr=lr, weight_decay=wd) # 对权重参数衰减
optimizer_b = torch.optim.SGD(params=[net.bias], lr=lr) # 不对偏差参数衰减
train_ls, test_ls = [], []
for _ in range(num_epochs):
for X, y in train_iter:
l = loss(net(X), y).mean()
optimizer_w.zero_grad()
optimizer_b.zero_grad()
l.backward()
# 对两个optimizer实例分别调用step函数，从而分别更新权重和偏差
optimizer_w.step()
optimizer_b.step()
train_ls.append(loss(net(train_features), train_labels).mean().item())
test_ls.append(loss(net(test_features), test_labels).mean().item())
d2l.semilogy(range(1, num_epochs + 1), train_ls, 'epochs', 'loss',
range(1, num_epochs + 1), test_ls, ['train', 'test'])
print('L2 norm of w:', net.weight.data.norm().item())
丢弃法
# 参数的初始化
num_inputs, num_outputs, num_hiddens1, num_hiddens2 = 784, 10, 256, 256
num_epochs, lr, batch_size = 5, 100.0, 256 # 这里的学习率设置的很大，原因与之前相同。
drop_prob1, drop_prob2 = 0.2, 0.5
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
train_iter, test_iter = load_data_fashion_mnist(batch_size, root='../data')
net = nn.Sequential(
FlattenLayer(),
nn.Linear(num_inputs, num_hiddens1),
nn.ReLU(),
nn.Dropout(drop_prob1),
nn.Linear(num_hiddens1, num_hiddens2),
nn.ReLU(),
nn.Dropout(drop_prob2),
nn.Linear(num_hiddens2, 10)
)
for param in net.parameters():
nn.init.normal_(param, mean=0, std=0.01)
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)
梯度消失、梯度爆炸
深度模型有关数值稳定性的典型问题是消失（vanishing）和爆炸（explosion）。
初始化模型参数
在神经网络中，通常需要随机初始化模型参数。下面我们来解释这样做的原因。
回顾多层感知机一节描述的多层感知机。为了方便解释，假设输出层只保留一个输出单元01（删去02和03以及指向它们的箭头），且隐藏层使用相同的激活函数。如果将每个隐藏单元的参数都初始化为相等的值，那么在正向传播时每个隐藏单元将根据相同的输入计算出相同的值，并传递至输出层。在反向传播中，每个隐藏单元的参数梯度值相等。因此，这些参数在使用基于梯度的优化算法迭代后值依然相等。之后的迭代也是如此。在这种情况下，无论隐藏单元有多少，隐藏层本质上只有1个隐藏单元在发挥作用。因此，正如在前面的实验中所做的那样，我们通常将神经网络的模型参数，特别是权重参数，进行随机初始化。
Xavier随机初始化
协变量偏移
这里我们假设，虽然输入的分布p(x)可能随时间而改变，但是标记函数，即条件分布P（y∣x）不会改变。虽然这个问题容易理解，但在实践中也容易忽视。
训练集由照片组成，而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练，而不考虑如何适应新的情况，这是不是一个好主意。不幸的是，这是一个非常常见的陷阱。
统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化（即协变量的变化）。数学上，我们可以说P（x）改变了，但P（y∣x）保持不变。尽管它的有用性并不局限于此，当我们认为x导致y时，协变量移位通常是正确的假设。
标签偏移
训练集由照片组成，而测试集只包含卡通。在一个看起来与测试集有着本质不同的数据集上进行训练，而不考虑如何适应新的情况，这是不是一个好主意。不幸的是，这是一个非常常见的陷阱。
统计学家称这种协变量变化是因为问题的根源在于特征分布的变化（即协变量的变化）。数学上，我们可以说P（x）改变了，但P（y∣x）保持不变。尽管它的有用性并不局限于此，当我们认为x导致y时，协变量移位通常是正确的假设。
概念偏移
如果我们要建立一个机器翻译系统，分布P（y∣x）可能因我们的位置而异。这个问题很难发现。另一个可取之处是P（y∣x）通常只是逐渐变化。
循环神经网络
循环神经网络构造
RNN简洁实现
我们使用Pytorch中的nn.RNN来构造循环神经网络。在本节中，我们主要关注nn.RNN的以下几个构造函数参数：
input_size - The number of expected features in the input x
hidden_size – The number of features in the hidden state h
nonlinearity – The non-linearity to use. Can be either 'tanh' or 'relu'. Default: 'tanh'
batch_first – If True, then the input and output tensors are provided as (batch_size, num_steps, input_size). Default: False
这里的batch_first决定了输入的形状，我们使用默认的参数False，对应的输入形状是 (num_steps, batch_size, input_size)。
forward函数的参数为：
input of shape (num_steps, batch_size, input_size): tensor containing the features of the input sequence.
h_0 of shape (num_layers * num_directions, batch_size, hidden_size): tensor containing the initial hidden state for each element in the batch. Defaults to zero if not provided. If the RNN is bidirectional, num_directions should be 2, else it should be 1.
forward函数的返回值是：
output of shape (num_steps, batch_size, num_directions * hidden_size): tensor containing the output features (h_t) from the last layer of the RNN, for each t.
h_n of shape (num_layers * num_directions, batch_size, hidden_size): tensor containing the hidden state for t = num_steps.
实践
one-hot向量
我们需要将字符表示成向量，这里采用one-hot向量。假设词典大小是N，每次字符对应一个从0到N-1的唯一的索引，则该字符的向量是一个长度为的向量，若字符的索引是i，则该向量的第i个位置为1，其他位置为0。下面分别展示了索引为0和2的one-hot向量，向量长度等于词典大小。
def one_hot(x, n_class, dtype=torch.float32):
result = torch.zeros(x.shape[0], n_class, dtype=dtype, device=x.device) # shape: (n, n_class)
result.scatter_(1, x.long().view(-1, 1), 1) # result[i, x[i, 0]] = 1
return result
我们每次采样的小批量的形状是（批量大小, 时间步数）。下面的函数将这样的小批量变换成数个形状为（批量大小, 词典大小）的矩阵，矩阵个数等于时间步数。也就是说，时间步t的输入为Xt，其中n为批量大小，d为词向量大小，即one-hot向量长度（词典大小）。
def to_onehot(X, n_class):
'''
:param X:输入的采样批量
:param n_class:词典大小
:return: 返回（批量大小，词典大小）的矩阵，矩阵个数为步数
'''
return [one_hot(X[:, i], n_class) for i in range(X.shape[1])]