1 基本概念

我們的目標是，首先在真實世界中選取特定的點，測量其座標（這個是人爲可以測量得到的），然後觀察它在圖像中的座標，估計相機的內、外參數，利用相機的內外參數，就可以計算真實世界中任意點的座標。

2 引言

我們使用攝像機對物體進行拍攝時，本質上是將object space中的點 $O$ 映射到film plane中的圖像點 $I'$ 上，具體關係如圖1a所示；而數字化的又是將圖上的點再次映射到projection plane $I$ 上，具體關係如圖1b所示。

但是通常情況下，爲了簡單起見，人們一般都是將object space與projection plane相對應，也就是object space中的 $O$ 點直接映射到projection plane中的 $I$ 上。

在上圖中，可以明顯的看到，object space中的座標系 $XYZ$ -system 和 image-plane中的 $UV$ -system， $N$ 是project center，在上圖中，點 $I$ 和點 $O$ 存在映射關係，假設點 $I,N,O$ ，這三個點之間的關係滿足colinear（共線性），這也是DLT method成立的基礎。

3. 具體算法

3.1 2D DLT method

3.1.1 算法思想

假設project center(N)在object-space中的位置座標爲 $[x_o,y_o,z_o]$ ，那麼， $O,N$ 之間向量表示爲： $\vec{A}=[x-x_o,y-y_o,z-z_o]$

由於在image plane上面只有 $UV$ 兩個座標系，這個時候我們再加一個軸 $W$ 作爲第三個軸，構成立體結構，那麼，在image plane空間中， $W$ 方向上的座標永遠爲0，那麼座標可以表示爲：

對於新點 $P$ ，記爲principal point，那麼， $NP$ 平行於軸 $W$ ，垂直於面image plane，又稱爲principal axis， $NP$ 的距離稱爲principal distance，長度爲 $d$ ，假設 $P$ 的座標爲 $[u_o, v_o, 0]$ ，而 $N$ 的座標爲 $[u_o, v_o, d]$ ，那麼 $\vec{B}$ 可表示爲 $[u-u_o,v-v_o, -d]$ 。

由於 $O, I, N$ 是共線的，那麼向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 之間的關係爲
$\vec{B}=c\vec{A}$
上式中， $c$ 是一個比例因子，爲了方便計算，可將 $\vec{A}$ 用image-plane進行表示，假設image plane與object plane之間的變換矩陣爲：

在上式中， $\vec{A}^{(I)}$ 代表在image-plane中的 $\vec{A}$ （也就是 $\vec{IP}$ ）， $\vec{A}^{(O)}$ 代表在object-plane中的 $\vec{A}$ ， $\vec{T}_{I/O}$ 代表從object-plane到image-object空間的變換矩陣。於是向量 $\vec{B}$ 與向量 $\vec{NO}$ 之間就有關係式：

或者可以表示爲：

根據公式4的第三個分量，可以計算出比例因子 $c$ 爲：

於是前兩個分量可以表示爲：

注意一點： $u,v,u_o,v_o$ 代表的是真實生活中照片上的距離單位可能是cm，而映射到digitization system中可能使用不同的長度單位，如像素，因此，必須再乘除比例因子： $\lambda$

這裏的 $\lambda_u$ 和 $\lambda_v$ 是兩個方向的比例，一般來說不會一樣。現在，整理 $x,y,z$ 的表達式，

其中，

係數 $L_1$ 到 $L_{11}$ 代表了object plane和image-plane的映射關係。