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高級搜索

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題解進度

Solved	#	Title	Editorial
Solved	A	【ICPC 2004 上海站】	【題解】The Rotation Game
	B	【ICPC 2006 橫濱站 日本】
	C	【SCOI 2005 四川】
	D	【HDU 2006 校賽】
	E	【ICPC 2001 坎普爾站 印度】
	F	【ICPC 2001 大田站 韓國】
	G	【ICPC 1997 烏爾姆站 德國】
Solved	H	【ICPC 1996 烏爾姆站 德國】一般搜索 雙向BFS	【題解】Knight Moves
Solved	I	【HDU 2011 校級賽】奇怪搜索 雙向BFS	【題解】Nightmare Ⅱ
Solved	J	【ICPC 1998 SCUSA站】八數碼 IDA*	【題解】Eight
Solved	K	【HDU 2017 暑期多校】次短路 A*	【題解】Two Paths
Solved	L	【ICPC 2017 瀋陽站 網絡賽】K短路 A*	【題解】Made In Heaven
Solved	M	【CCPC 2019 網絡賽】不定點K短路 想法題	【題解】path

通知欄

3月30-4月5日這周的新生訓練準備訓練高級搜索，就是講雙向廣度搜索，迭代加深、A*算法，IDA*，你能負責安排嗎？

第七週 高級搜索

一、視頻：

1）搜索相關：

https://github.com/luoyongjun999/code/tree/master/%E8%A1%A5%E5%85%85%E8%B5%84%E6%96%99

2）A*：

https://www.bilibili.com/video/BV1D4411X71L

3）IDA*：
https://www.bilibili.com/video/BV1K4411R78Y

// 看前面一段簡介就差不多了

// 可能去網上看博客會有更多理解

二、專題訓練賽：

https://vjudge.net/contest/363902

// 可能會考慮陸續更一波題解

三、綜合訓練賽：
https://vjudge.net/contest/363899

雙向廣度搜索 (Bidirectional BFS)

這個其實是BFS的優化技巧，可以證明，從兩個起點開始BFS，比單點開始要優化很多。

所有BFS過的題，你都可以寫成雙向的（首先看題目時間卡不卡，其次看實現麻不麻煩）。

• https://www.geeksforgeeks.org/bidirectional-search/

僞代碼

	BFS (queue_$){
        q.swap(queue)          //一個關鍵
        while (!q.empty()) {
            從q取出隊首點
            
            if 遇到另一個點集:
            	return 有解，距離
            
            for () {
                 dr := r + d
                 dc := c + d
                判斷合法性
                新點插入 queue_$ //另一個關鍵
       			更新標記數組，vis，dist
            }
        }
        return 無解
    };

	BiBFS(){
        res 
        queue_s	
        queue_t	
        分別插入對應的起點
        更新標記數組，vis，dist
            
        while 兩者不都爲空 :
        	// 這裏有點啓發式的思想，每次更新點集更小的隊列
            if s的狀態點數多於t，且queue_t非空 :
                res = BFS(queue_t);
            else :
                res = BFS(queue_s);
        
            if (有解且相遇) return res;
        }
        return 無解
    };

BBFS相關習題

• 【ICPC 1996 烏爾姆站 德國】hdu 1372 - Knight Moves
• 【HDU 2011 校級賽】hdu 3085 - Nightmare Ⅱ

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【題解】Knight Moves

hdu 1372 - Knight Moves

題意：

就問你從棋盤上一個位置到另外一個位置的最短路。

思路：

我覺得你只要看懂了上面的僞代碼的話，應該就能寫了。

甚至如果你厲害的話，普通搜索也能過（不確定

[我的代碼 1372 BBFS.cpp](https://github.com/TieWay59/HappyACEveryday/blob/master/2020codes/hdu/1372 BBFS.cpp)

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【題解】Nightmare Ⅱ

hdu 3085 - Nightmare Ⅱ

模型是方格地圖，有兩個人M和G要見面，每個人只能四向移動。其中M可以一單位時間移動三次，G可以一單位時間移動一次。圖上一開始有兩個Z，這個Z每個單位時間會分裂，佔滿曼哈頓距離爲2的所有位置。Z可以覆蓋X，但是MG不可以走到XZ。每一時刻M或G移動前，看作Z已經分裂完畢。注意，題意隱含：MG被Z覆蓋也會無法行動。

思路：這個提示也不算傳統的寬搜，不是很入門，可能還有點入墳。

• 一開始我以爲，M的移動是可以確定的，於是把它的移動設成一個dir數組來判。後來才意識到，M移動的過程中三次位移每一次都不能落在Z上，那麼如果是有個第二次落腳的位置恰變成Z了，那麼後續的第三個位置是M達不到的。這告訴你，這個題非常的有鬼。
• 由於G和Z都是單位時間變化的，M又有移動的特殊性，整體做法還是以雙向寬搜爲主，但是，M的每次移動都要單獨拿出來判，具體地說就是要有三次while(!queue.empty())給M點判移動。
• 然後，由於人必須是同一個單位時間內相遇，而且每個時間人都必須移動，所以這不是常規的最短路問題，而是枚舉單位時間，更新所有上個時刻的位置，到下個位置，如果可以到達，如果在這個單位時間內，M首次走到G經過的位置（反之等價），可以說這就是相遇的最少時間。

我的代碼 3085 Bidirectional BFS.cpp

迭代加深 ID(Iterative Deepening), IDDFS

這個算法代碼上只是DFS稍微添加點東西而已。

迭代加深搜索，實際上就是做很多次深搜，同時逐漸提高每次深搜的深度限制。直到找到答案就結束。

可以證明，這樣做可以在時間上接近BFS，在空間上接近DFS，可以避免兩種基本搜索算法的極端。

在目標不深，分支很多的情況下，運行表現比較好。

• jianshu
• geeksforgeeks
• 不存在的：wiki

A* (A_star)

這個算法的思想其實也不復雜，但是代碼細節多點。

A星算法的啓發性在於規定一個估價函數，來猜想一個點到目標的後續花費。

可以是不準的猜想，比如在方格模型中，用曼哈頓距離計算。

在代碼上的表現，常常和bfs，反向圖，最短路有關。

於是**“後繼節點”就可以通過“已有花費+可能的後續花費”**的某個函數來比較。

特別的是，這個算法不太用在算法競賽，而在遊戲開發中更有作用。

• csdn1
• gamedev

第K短路問題

就是求某個點到某個點的第k短的路徑長度。（我們所說的最短路一般就是K=1的情況）

放在這裏講也是因爲有一種Astar的簡單做法。

Astar做法的K短路不算太難，每一步都很清晰：

1. 首先建立反向圖（就是所有邊和你原來的圖相反的圖，無向圖就免去這一步）
2. 然後在反向圖從終點開始做一遍單源最短路（可以時dijkstra）
3. 從起點開始做優先隊列優化的BFS。
4. Astar的體現在於優先隊列中的節點的優先級和用啓發函數要有關。
5. 也就是按照f(u)=dis_start(u)+dis_final(u)從小到達排序。
6. 當第K次遇到終點的時候，當前的距離就是K短路。

是不是看起來很暴力？確實很暴力，記住這樣做的最壞複雜度是$O(KNlog(N))$的。

• https://oi-wiki.org/graph/kth-path/
• 世界上有很低複雜度的科技$O(Nlog(N)+Mlog(M)+Klog(K))$，但是代碼很長很長，並且很難理解：https://www.isi.edu/natural-language/people/epp-cs562.pdf https://www.isi.edu/natural-language/people/epp-cs562.pdf

K短路相關習題

• 【HDU 2017 暑期多校】hdu 6181- Two Paths 也就是人人都會的次短路。
• 【ICPC 2017 瀋陽站 網絡賽】 計蒜客 A1992 - Made In Heaven 也就是人人都會的K短路。
• 【CCPC 2019 網絡賽】hdu 6705 - path 不定點K短路 想法題

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【題解】Two Paths

hdu 6181- Two Paths

題意：

這個題是給你無向圖要你求次短路，也就是K=2的情況。

比較一般吧，而且也有別的做法（改寫dijkstra即可）

小心處理爆int的問題。

[我的代碼 6181 K短路（邊權ll）.cpp](https://github.com/TieWay59/HappyACEveryday/blob/8e937dc620db56668f565d1e38a337e40a6f4903/2020codes/hdu/6181 K短路（邊權ll）.cpp)

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【題解】Made In Heaven

計蒜客 A1992 - Made In Heaven

題意：

這是一般的詢問K短路，這個題比較重要，是瀋陽網絡賽的題目。

給大家嘮叨兩句，我們集訓隊暑期隊伍排名，都會參照網絡賽比賽的排名的。

這個題看起來好像不能用普通的Astar做，實際上他題目給你了一個長度剪枝，要充份利用。

[我的代碼 A1992 K短路 Astart 剪枝.cpp](https://github.com/TieWay59/HappyACEveryday/blob/8e937dc620db56668f565d1e38a337e40a6f4903/2020codes/jisuanke/A1992 K短路 Astart 剪枝.cpp)

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【題解】path

hdu 6705 - path

題意：

有向圖模型，q次詢問整個圖上任意源匯的第K短路。

q次詢問很多，你當然要預處理出前max(k)的答案。

思路：

枚舉所有路徑是不可能的，我們期望的是，在最少的枚舉次數下，枚舉到儘量短的路徑。

對於一條當前剩下路徑中最短的路徑$P_{cur}$，設這個路徑最後一條邊爲$P_{cur}:E(u,i)$ ，表示從$u$出發的第$i$短的邊。

那麼根據這條路徑，下一條比這個路徑長的路徑可能有（假設存在）：

• $P:E(u,i+1)$
• $P_{cur} + E(to(u,i),0)$

先不去提這兩者怎麼比較，以及存在性的問題。

假如我們每次拿到一條當前的最短路徑，然後放回這兩種可能的後繼，是不是總能保證工作集合的完備，並且這個集合的體積不會很大。

於是可以總結出，路徑節點的表示（長度，u，i ），以及轉移過程。

剩下的問題是，初始情況應該是怎麼樣的。

我們要保證初始的最短路徑的枚舉集完備，並且後續路徑不會重複。

答：就是所有點的出發的最短邊的集合。（自己思考爲什麼）

具體的實現只需要會優先隊列就可以寫了，沒有什麼固定的章法。

[我的代碼 6705 任意源匯K短路 想法.cpp](https://github.com/TieWay59/HappyACEveryday/blob/a13239ffeaaf5a3252e3aabdec1b158ad25f1674/2020codes/hdu/6705 任意源匯K短路 想法.cpp)

IDA* (Iterative deepening A*)

顧名思義，就是把上面連個算法結合起來的算法。

• https://blog.csdn.net/xiaonanxinyi/article/details/97896085?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant_right.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant_right.none-task
• 不存在的：wiki

IDA*相關習題

• 【ICPC 2004 上海站】hdu 1667 - The Rotation Game

• 【ICPC 2006 橫濱站 日本】uva 1374 - Power Calculus

• 【HDU 2006 校賽】 hdu 1560 - DNA sequence

• 【SCOI 2005 四川】luogu P2324 - 騎士精神 link

• 【ICPC 2001 坎普爾站 印度】uva 11212 - Editing a Book 源地址

• 【ICPC 2001 大田站 韓國】uva 1603 - Square Destroyer

• 【ICPC 1997 烏爾姆站 德國】uva 529 - Addition Chains 源地址

• 【ICPC 1998 SCUSA站】hdu 1043 - Eight 也就是人人都會的八數碼啦。

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【題解】The Rotation Game

hdu 1667 - The Rotation Game

題意：

給你一個滾動遊戲的模型，8方向可以拉動數組循環滾動1格。問你把中間八個移動到成同一個數的狀態的最短移動方案，如果有多解要輸出字典序最小的解。

第二行要輸出最終格局中間八個數是哪一種。

思路：

首先我們來看怎麼轉化成圖論模型，也就是模擬的部分。

你可以把這個＃每一行從左到右，然後從上到下，這樣編號，一個格局就變成一個長度爲24的數組，每個元素都屬於[1,2,3]。

數組變成簡單結點的方法有很多，主要就是狀壓或者哈希。

我採用了哈希成一個4進制的大整數的做法。（實際上你可以優化成二進制的狀壓，給大家思考）

state = 0;
for (auto in:input)
    if ('0' <= in && in < '4')
        state = (state << 2) + int(in - '0');

然後狀態怎麼轉移。你想每一次拉動數組，所有元素都朝着一個方向位移，首部的元素放到末尾。這個過程其實可以等價於，把第一個元素冒泡交換到最後一個。

所以你需要的是實現一個子操作，交換。根據上面的編號和狀壓的方式，這個函數不難實現。

    const auto digitSwap = [](ll &s, ll a, ll b) {
        a = 2 * (a - 1);
        b = 2 * (b - 1);
        ll x = (s >> a) & 3;
        ll y = (s >> b) & 3;
        s = s - (x << a) - (y << b)
            + (x << b) + (y << a);
    };

然後就是終點狀態的表示。在這個問題中，我的思路是枚舉最終中間的數字是什麼（也就全1或者2，3）然後把其他數組位置填上0，哈希成一個終點狀態，每次當前狀態都跟這個節點比較即可。

有了以上的理解，你應該可以寫出一個爆搜的做法了，但是這樣會TLE，或者MLE。

怎麼優化呢？

• 考慮迭代加深，枚舉深度去DFS，每次深度+1保證第一次遇到的答案是最短的。
• 考慮一個啓發（也就是啓發函數h）你可以假設，中間八個位置，有幾個和目標狀態不一樣，就是最少還差幾步（當然看起來不一定，但這個考慮不會使得方案變差）這樣你就能確定一個狀態是否有可能在你枚舉的步長內達到終點。

有了這兩點優化，就是標準的IDA*的模樣了。

稍微順帶一提，我的狀態是用4進製表示的，其實你也可以通過每次修改起始狀態優化成二進制。因爲你想，如果你的最終狀態中心是1，那麼2和3的位置其實是對你搜索的過程沒有意義的，都可以看成是0。這樣可以進一步優化。

我的代碼 1667 IDAstar.cpp

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【題解】Eight

hdu 1043 - Eight

八數碼問題其實是一個老掉牙的麻煩題，思維障礙主要有以下幾點：

• 無解的結論：可以證明，輸入的數組（除了x以外）逆序對有奇數個，那麼這個八數碼是無解的。
• 啓發式估價函數：用每個數字（除了x），與目標位置的曼哈頓距離，求和來表示預期的代價。
• 其他細節：對於有解的情況，移動步數不應該很多（不會上千），但是同一步數的方案可能會很多。
• 採取搜索方案：BFS空間危險，DFS深度危險，那麼就用迭代加深吧，好像還有估計函數，那就是IDA*了。

如果你已經懂了以上的思考點，並且瞭解了IDA*算法的框架，就可以開始敲了。

其實你不用把IDA*想的太複雜，也不需要去找模板，思路就是：你枚舉限制DFS深度多次去DFS，中間用啓發式估價函數剪枝就好了。這個題我的剪枝是：steps+h(state)>depth，這代表估計到預期的步數超過限制深度。

[我的代碼 1043 IDAstar2.cpp](https://github.com/TieWay59/HappyACEveryday/blob/master/2020codes/hdu/1043 IDAstar2.cpp)

我還去研究了洛谷的另外一個八數碼的題不輸出方案，只要輸出最小步數的。這個題的數據是卡A*的做法的。你看，這個算法多麼尷尬，在一定情況下還很容易被卡掉。

話題之外

我來解釋一下爲什麼要有這麼複雜的算法。

以及爲什麼例題都那麼——陳舊。

你可以先瀏覽一下這篇文章：A*，Dijkstra，BFS算法性能比較及A*算法的應用。

上面這些花裏胡哨，看似高級的搜索算法，還是在解決一個老掉牙的問題，最短路。

這裏的“最短路”，不一定是圖形上的最短路徑，還可能是某個事物（首當其衝，滑塊拼圖）的最少次數之類的。

但是像Dijkstra在稠密的圖，或者方格圖上的表現，會遜色很多；還有一些抽象情況（滑塊拼圖）分支龐雜，無法建圖。所以會存在像IDA*針對上述這樣的情況更有效的算法。

但是，也是因爲針對性太特殊了，導致這樣的算法變不出太多的花樣。不是說出不了難題，是很難弄出好題。而且同樣的題可能用其他歪門邪道的方法也可以做出來，比如dfs巧妙剪枝，時間複雜度很難卡出那麼多不同的優化的做法。

所以近五年很少有出這樣的題，歷史上也很難找到類似的題。

但作爲準備者，我不敢保證說以後就不會有了，而且很可能這樣的題目再次現身，會是以很難的題目出現的。（因爲簡單的基礎題大家刷的越來越多了）

看起來，現代的搜索題，更多在花樣上創新，而不會在老花樣上吊胃口了。