算法 - 回溯算法

回溯算法

（1）基本概念

回溯算法實際上一個類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。
回溯法是一種選優搜索法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術爲回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱爲“回溯點”。
許多複雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。

（2）基本思想

回溯算法的基本思想是：從一條路往前走，能進則進，不能進則退回來，換一條路再試。八皇后問題就是回溯算法的典型，第一步按照順序放一個皇后，然後第二步符合要求放第2個皇后，如果沒有位置符合要求，那麼就要改變第一個皇后的位置，重新放第2個皇后的位置，直到找到符合條件的位置就可以了。回溯在迷宮搜索中使用很常見，就是這條路走不通，然後返回前一個路口，繼續下一條路。回溯算法說白了就是窮舉法。不過回溯算法使用剪枝函數，剪去一些不可能到達 最終狀態（即答案狀態）的節點，從而減少狀態空間樹節點的生成。回溯法是一個既帶有系統性又帶有跳躍性的的搜索算法。它在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優先的策略，從根結點出發搜索解空間樹。算法搜索至解空間樹的任一結點時，總是先判斷該結點是否肯定不包含問題的解。如果肯定不包含，則跳過對以該結點爲根的子樹的系統搜索，逐層向其祖先結點回溯。否則，進入該子樹，繼續按深度優先的策略進行搜索。回溯法在用來求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有子樹都已被搜索遍才結束。而回溯法在用來求問題的任一解時，只要搜索到問題的一個解就可以結束。這種以深度優先的方式系統地搜索問題的解的算法稱爲回溯法，它適用於解一些組合數較大的問題。

（3）解空間的樹結構

使用回溯法的解空間一般有兩種解空間：子集樹和排列樹

• 子集樹

  當所給的問題從n個元素的集合S中找出滿足某種性質的子集時，相應的解空間樹稱爲子集樹。常用於0-1問題，如0-1揹包問題。

• 排列樹

  當所給的問題是確定n個元素滿足某種性質的排列時，相應的解空間樹稱之爲排列樹。排序樹通常有n！葉結點。

（4）用回溯法解題的一般步驟

• 針對所給問題，確定問題的解空間：
  首先明確定義問題的解空間，問題的解空間應該至少包含問題的一個解
• 確定結點擴展搜索規則
• 以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索

確定瞭解空間的組織結構後，回溯法就從開始結點（根結點）出發，以深度優先的方式搜索整個解空間。這個開始結點就成爲一個活結點，同時也成爲當前的擴展結點。在當前的擴展結點處，搜索向縱深方向移至一個新結點。這個新結點就成爲一個新的活結點，併成爲當前擴展結點。如果在當前的擴展結點處不能再向縱深方向移動，則當前擴展結點就成爲死結點。此時，應往回移動（回溯）至最近的一個活結點處，並使這個活結點成爲當前的擴展結點。回溯法即以這種工作方式遞歸地在解空間中搜索，直至找到所要求的解或解空間中已沒有活結點時爲止。

（5）算法框架

• 問題框架

  設問題的解是一個n維向量(a1,a2,………,an),約束條件是ai(i=1,2,3,……,n)之間滿足某種條件，記爲f(ai)。

• 遞歸回溯框架

  回溯法是對解空間的深度優先搜索，在一般情況下使用遞歸函數來實現回溯法比較簡單，其中i爲搜索的深度，框架如下：

  function backtrack (t) //t表示遞歸深度
  {
         if (t>n) output(x); //n表示深度界限
         else
           for (let i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) // f(n,t)，g(n,t)分別表示當前擴展結點未搜索過的子樹的起始編號和終止編號
             {
             x[t]=h(i); 
             if (constraint(t) && bound(t)) //滿足約束函數和限界函數
                backtrack(t+1);
             }
  }
  

• 非遞歸的算法框架

  function iterativeBacktrack ()
  {
    let t=1;
    while (t>0) {
      if (f(n,t)<=g(n,t)) 
        for (let i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {
          x[t]=h(i);
          if (constraint(t) && bound(t)) {
            if (solution(t)) output(x);
            else t++;}
          }
      else t--;
      }
  }
  

學習參考於：

回溯算法