計算機圖形學數學之矩陣運算（加減乘除、矩陣的平移、旋轉、縮放、濾波等）shader實現

矩陣的加、減法

兩個矩陣必須規模相同
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1+1&2+2\\3+3&4+4\\5+5&6+6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4\\6&8\\10&12\end{bmatrix}$

矩陣的直加

兩個不同規模的矩陣可以直加，組合後的矩陣空位用0補位
$\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\bigoplus\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&0&0\\3&4&0&0\\0&0&1&2\\0&0&3&4\\0&0&5&6\end{bmatrix}$

矩陣的乘除法

幾何意義：A x B = 結合兩種操作的操作集合。
1、當矩陣A的列數（column）等於矩陣B的行數（row）時，A與B可以相乘。
2、矩陣C的行數等於矩陣A的行數，C的列數等於B的列數。
3、乘積C的第m行第n列的元素等於矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對應元素乘積之和
$A = \begin{bmatrix}a1&a2&a3\\a4&a5&a6\end{bmatrix}B = \begin{bmatrix}b1&b2\\b3&b4\\b5&b6\end{bmatrix}$
$C=AB=\begin{bmatrix}a1b1+a2b3+a3b5&a1b2+a2b4+a3b6\\a4b1+a5b3+a6b5&a4b2+a5b4+a6b6\end{bmatrix}$

矩陣的平移

$設x，y爲原座標,dx、dy爲xy座標的移動量，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\dbinom{dx}{dy}+\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
//新x1座標 = 原x座標*cos（角度值） - 原y座標*sin（角度值），角度值的取值區間是pi = 3.14, 相當於180度。該公式其實就是已知兩直角邊與夾角求第三遍長
x1 = x + dx;
y1 = y + dy;

空間矩陣的旋轉

二維空間

$設x，y爲原座標,\theta爲旋轉角度，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta& cos\theta\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
//新x1座標 = 原x座標*cos（角度值） - 原y座標*sin（角度值），角度值的取值區間是pi = 3.14, 相當於180度。該公式其實就是已知兩直角邊與夾角求第三遍長
x1 = x * cos(angle) - y * sin(angle);
y1 = x * sin(angle) + y * cos(angle);

三維空間

$設x，y爲原座標,\theta爲旋轉角度，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}cos\theta&-sin\theta\\sin\theta& cos\theta\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
//新x1座標 = 原x座標*cos（角度值） - 原y座標*sin（角度值），角度值的取值區間是pi = 3.14, 相當於180度。該公式其實就是已知兩直角邊與夾角求第三遍長
x1 = x * cos(angle) - y * sin(angle);
y1 = x * sin(angle) + y * cos(angle);

矩陣的縮放

$設x，y爲原座標,S_{x}、S_{y}爲縮放倍數，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}S_{x}&0\\0& S_{y}\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
x1 = x * size_x + y * 0;
y1 = x * 0 + y * size_y;

矩陣的切變

$設x，y爲原座標,K爲切變係數，則x1、y1爲變換後的新座標。$【公式】
第一種，x方向切變：
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
第二種，y方向切變：
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}1&0\\k&1\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
//x方向的切變 
x1 = x * 1 + y * k;
y1 = x * 0 + y * 1
//y方向的切變 
x1 = x * 1 + y * 0;
y1 = x * k + y * 1

矩陣的反射(?)

$設x，y爲原座標,ux,uy爲直線方向的單位向量，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}2u_{x}^2-1&2u_{x}u_{y}\\2u_{x}u_{y}&2u_{y}^2-1\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
x1 = x * 2 * pow(ux,2) - 1 + y * 2 * ux * uy;
y1 = x * 2 * ux * uy + y * 2 * pow(uy, 2) - 1;

矩陣的正投影

$設x，y爲原座標,ux,uy爲直線方向的單位向量，則x1、y1爲變換後的新座標$【公式】
$\dbinom{x_{1}}{y_{1}}=\begin{pmatrix}u_{x}^2&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^2\end{pmatrix}\times\dbinom{x}{y}$
【代碼的實現】

//shader中的寫法
x1 = x * pow(ux,2) + y * ux * uy;
y1 = x * ux * uy + y * pow(uy, 2);

矩陣的線性變換

矩陣的濾波

圖像處理算法部分