LOJ 6053 時間複雜度 min25篩

求 $f$ 前 $n$ 項的和對 $20190601$ 取模的值。

$1\le n\le 10^{11}$。

考慮 min_25 篩中的 $g_0(n,j)$（$0$ 次方，即滿足條件的數的個數）和 $g_0(n,j-1)$。

$g_0(n,j)=\sum\limits^n_{i=1}[i\in prime\ ||\ minp(i)>p_j]$

$g_0(n,j-1)=\sum\limits^n_{i=1}[i\in prime\ ||\ minp(i)\ge p_j]$

特別地，有 $g_0(n,0)=n-1$。

所以 $g_0(n,j-1)-g_0(n,j)=\sum\limits^n_{i=1}[i\notin prime\ \&\&\ minp(i)=p_j]$。

也就是最小質因子爲 $p_j$ 的數的個數。（不包括 $p_j$）

那麼答案爲 $\sum\limits^{|P|}_{j=1}p_j(g_0(n,j-1)-g_0(n,j)+1)-(n-1)-g_0(n,|P|)$。

……嗎？

由於 min_25 篩只能處理到 $\le \sqrt{n}$ 的質數，所以 $>\sqrt{n}$ 的質數不會被統計到。

所以分質數和合數兩類討論。合數部分上面討論完了。質數部分是模板。

答案爲 $\sum\limits^{|P|}_{j=1}p_j(g_0(n,j-1)-g_0(n,j))+g_1(n,|P|)-(n-1)-g_0(n,|P|)$。

時間複雜度 $O(\dfrac{n^{3/4}}{\log n})$。

以上題解轉自https://www.cnblogs.com/1000Suns/p/10888832.html

以下是本人代碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
const int mod = 20190601, inv2 = 10095301;
LL n, a[MAXN];
int m, sqr, s[2][MAXN];
inline int cal(LL N) { N%=mod; return 1ll*N*(N+1)%mod*inv2%mod; }
inline int ID(LL x) { return x <= sqr ? x : m-n/x+1; }
int main () {
	cin>>n; sqr = sqrt(n);
	for(LL i = 1; i <= n; ++i)
		a[++m] = i = n/(n/i),
		s[0][m] = i%mod-1,
		s[1][m] = cal(i)-1;
	int ans = 0;
	for(int i = 2; i <= sqr; ++i) if(s[0][i]^s[0][i-1]) {
		ans = (ans + 1ll*(s[0][ID(n/i)]-s[0][i-1])*i) % mod;
		for(int j = m; a[j] >= 1ll*i*i; --j) {
			s[0][j] = (s[0][j] - 1ll*(s[0][ID(a[j]/i)]-s[0][i-1])) % mod;
			s[1][j] = (s[1][j] - 1ll*i*(s[1][ID(a[j]/i)]-s[1][i-1])) % mod;
		}
	}
	ans = (ans + s[1][m]) % mod;
	ans = (ans - n%mod + 1) % mod;
	ans = (ans - s[0][m]) % mod;
	printf("%d\n", (ans + mod) % mod);
}