概率论与数理统计第一章
一、概率与事件
- 概率是某个事件发生的可能性,用0-1区间内的数值表示,因此,概率可重复,事件不可重复。
- 注意:事件之间的运算:交换、分配、结合、德摩根律
二、频率与概率
- 频率是某个事件发生的次数,概率是某个事件发生n次后,频率趋于某个稳定的值,这个值就是概率。
- 概率
- 定义:非负、规范、可列可加
- 计算原理
- 性质
- P(A-B)=P(A-AB)
- P(Aˉ)=1-P(A)
- P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(AB)
三、古典概型(等可能概型)
- 样本空间充满区域,度量(长度、面积、体积等等)
- 任意点落在同一度量子区间等可能
- P(A)=SA
四、条件概率
- P(B|A)=P(A)P(AB)
- P(B1⋃B2|A)=P(B1|A)+P(B2A)-P(B1B2|A)
- P(A-B|C)=P(A|C)-P(AB|C)
- P(AB)=P(A)P(B|A)
- P(ABC)=P(A|BC)P(B|C)P©
- P(Aˉ|C)=1-P(A|C)
- 全概率公式及贝叶斯公式
- 全概率公式
- 定义:路径模型,一个结果由多条路径可达,这些路径彼此没有交集,要计算整个结果的概率。
- P(A)=P(B1)(P(A|B1)+P(B2)(P(A|B2)+…+P(Bn)(P(A|Bn)
- 贝叶斯公式
- 定义:已知整个结果的概率,求某条路径发生的可能性是多少。
- P(Bi|A)=P(A)P(Bi)P(A∣Bi)=P(B1)(P(A∣B1)+P(B2)(P(A∣B2)+⋯+P(Bn)(P(A∣Bn)P(Bi)P(A∣Bi)
五、独立性与伯努利概型
- 独立性
- P(AB)=P(A)P(B)
- 推广到三个事件
- 若P(B)>0,AB相互独立,则P(A|B)=P(A)
- 若P(A)>0,P(B|Aˉ)=P(B|A),则AB独立==等价于
- 0<P(A)<1,0<P(B)<1,若P(A|B)+P(Aˉ|Bˉ),则AB独立==等价于
- 伯努利(多重0-1分布)
- Pn(k)=Cnkpk(1−p)n−k