第五章：圖（圖的基本知識）
1.圖的基本概念
圖 圖G由頂點集V和邊集E組成,記爲G=(V,E),其中V(G)表示圖G中頂點的有限非空集；E(G)表示圖G中頂點之間的關係(邊)集合
|V| 表示圖G中頂點的個數，也稱圖G的階；|E|表示圖G中邊的條數(| |代表絕對值)
注意：線性表、樹都可以爲空，但是圖不能爲空
2.無向圖&有向圖
上面我們講解的圖，就是一個無向圖，它的邊集使用的圓括號組成的一個集合，爲什麼使用的圓括號？其實這樣的圓括號表示的就是無向邊。
無向邊：表示這個邊是沒有方向的，它並不區分起始和終止，所以我們可以使用這樣的無序對(V,W) = (W,V)來表示，也可以說V,W互爲鄰接點
無向圖：在該圖中所有的邊都是無向邊
有向圖：在該圖中所有的邊都是有向邊
有向邊：該邊是有方向的，它區分起始位置和終止位置，V------->W，我們也稱這樣有向邊爲弧，稱起始位置爲弧頭，終止位置爲弧尾。我們使用有序對<V,W>來表示，這時候就要區分<V,W>和<W,V>了，我們也稱V鄰接到W或W鄰接自V
3.簡單圖&多重圖
簡單圖：無重複邊，或不存在節點到自身的邊。
多重圖：存在重複的邊，或存在結點到自身的邊。
注意：下面的圖雖然出現了A指向B，B指向A，但這不是重複的邊，不是多重圖，我們在上面講有向圖的時候講到<A,B>和<B,A>是代表不同的邊的，所以它不是多重圖。
4.完全圖
完全圖：分爲無向完全圖和有向完全圖
無向完全圖：
- 任意兩個頂點之間都存在邊
- n個頂點有 n(n-1)/2個邊
有向完全圖：
- 任意兩個頂點之間都存方向相反的在弧
- n個頂點有 n(n-1)個邊
5.子圖
設有兩個圖 G=(V,E)和 G'=(V',E')，若 V‘ 是 V的子集，且 E’是 E的子集，則稱 G‘ 爲 G的子圖，且若 V(G) = V(G')則稱G'爲G的生成子圖
6.無向圖&有向圖
無向圖：只有連通：若從頂點V到頂點W有路徑存在，則稱V和W是連通
連通圖：任意兩個結點都是連通的
有向圖：只有強連圖：若從頂點V到頂點W 和 從頂點W到頂點V都有路徑存在，則稱V和W是強連通
強連通圖：任意兩個結點都是強連通的
n個頂點的連通圖（強連通圖）最少有多少條邊？
連通圖：n-1 【某一個頂點與剩餘的每一個頂點(n-1)有一條邊】
強連通圖：n
無向圖的連通分量：極大連通子圖
有向圖的強連通分量：極大強連通子圖
對於G的一個(強)連通子圖G'·,如果不存在G的另一個(強)連通子圖G",使得G屬於G",則稱G'爲G的(強)連通分量（就是該連通分量一定是最大的那個，不存在另外的連通子圖或者強連通子圖能夠把它包含起來，即保證他是連通的或者強連通的情況下能夠包含更多的頂點和邊）
我們看幾個例子：找出無向圖立的連通分量
首先畫出它的幾個連通子圖，找出連通分量（極大連通子圖）
我們可以看出下面兩個是連通分量（極大連通子圖），因爲其他的連通子圖，都不能包含他們。
找出有向圖立的連通分量
上面的無向圖有兩個連通分量，而有向圖只有一個連通分量。其實我們可以得出一個結論：如果一個圖他是連通圖或者強連通圖，那個它的連通分量或強連通分量就是他自己，而如果一個圖不是連通圖或者強連通圖，那麼它的連通分量或者強連通分量則會有許多個。
7.生成樹、生成森林
極小連通子圖：連通子圖且包含的邊最少
在滿足連通的情況下達到邊最少
生成樹：連通圖包含全部頂點的一個極小連通子圖
首先原圖一定是一個連通通，然後包含全部頂點的一個極小連通子圖
n個頂點的圖的生成樹有n-1條
（連通圖只能生成生成樹，非連通圖只能生成生成森林）
生成森林：非連通圖所有連通分量的生成樹組成森林
8.頂點的度
頂點的度：以該頂點爲一個斷點的邊的數目
無向圖：頂點V的度以V爲斷點邊的個數記爲TD(V)
n個頂點，e條邊的無向圖中度的總數爲：2e
有向圖：
- 出度：以V爲起點的有向邊的條數，記作 OD(V)
- 入度：以V爲終點的有向邊的條數，記作 ID(V)
n個頂點，e條邊的有向圖中出度，入度總數分別爲：e:
9.網
爲邊賦予權重（在實際情況中可能是花費時間等）
10.稠密圖&稀疏圖
稀疏稠密的界定：|E|<|V|log|V|
當變數小於結點數乘以log結點數的時候稱爲稀疏圖
11.有向樹
有向樹：一個頂點的入度爲0、其餘頂點的入度均爲1的有向圖
12.路徑
路徑：途中頂點V到頂點W的頂點序列，序列中頂點不重複的路徑稱爲簡單路徑
路徑長度：路徑上邊的數目，若該路徑最短則稱其爲距離
迴路：第一個頂點和最後一個頂點相同的路徑（環狀結構）
關於數據結構的知識公衆號 理木客同步更新中，下次將會講解：圖的存儲及基本操作，期待大家的關注
