一文理解洗牌算法

引言

首先看一道題目:有一個大小爲100的數組,裏面的元素是從 1 到 100,隨機從數組中選擇50個不重複數。

Math.random() * 100 ,就可以拿到一個 0 到 99 的隨機數,是不是重複50次就可以了?當然不是,假如,第一次隨機到5,第二次如果再一次隨機到5的話,要求是選擇不重複的數,所以要選出50個不重複的數的話,隨機次數遠遠大於50,因爲越到後面隨機到的數與前面選出的數重複的概率越大。

怎麼解決呢?大家都玩過或見過發牌,54張牌,發一張牌,發牌人手裏就少一張,直至將所有牌都發完。

同樣上面的問題也可以這樣解決,第一次隨機到一個數後,將這個數取出來,再從剩下的99個數字裏隨機取出第二個數,這樣隨機50次取出的書就不會重複,這就是今天的主題:洗牌算法

洗牌算法

Fisher-Yates洗牌算法是由 Ronald A.Fisher和Frank Yates於1938年發明的,後來被Knuth在書中介紹,很多人直接稱Knuth洗牌算法, Knuth大家應該比較熟悉,《The Art of Computer Programming》作者,算法理論的創始人。我們現在所使用的各種算法複雜度分析的符號,就是他發明的。

等概率:洗牌算法有些人也稱等概率洗牌算法,其實發牌的過程和我們抽籤一樣的,大學概率論講過抽籤是等概率的,同樣洗牌算法選中每個元素是等概率的。

用洗牌算法思路從1、2、3、4、5這5個數中,隨機取一個數

第一次隨機抽取到4這個元素

4被抽中的概率是1/5

第二次隨機抽取到5這個元素

5被抽中的概率是1/4*4/5=1/5

第三次隨機抽取到2這個元素

2被抽中的概率是1/3*3/4*4/5=1/5

第四次隨機抽取到1這個元素

1被抽中的概率是1/2*1/3*3/4*4/5=1/5

第五次隨機抽取到3這個元素

3被抽中的概率是1*1/2*1/3*3/4*4/5=1/5

時間複雜度爲O(n*n),空間複雜度爲O(n)

算法思路

在上面的介紹的發牌過程中, Knuth 和 Durstenfeld 在Fisher 等人的基礎上對算法進行了改進,在原始數組上對數字進行交互,省去了額外O(n)的空間。該算法的基本思想和 Fisher 類似,每次從未處理的數據中隨機取出一個數字,然後把該數字放在數組的尾部,即數組尾部存放的是已經處理過的數字。

在54張牌中隨機選一張,將這張牌與第一張交換順序

在剩下的53張中繼續隨機選取一張與第二張牌進行交換

直至最後一張。

時間複雜度爲O(n),空間複雜度爲O(1),缺點必須知道數組長度n。

代碼

void Knuth_Durstenfeld_Shuffle(vector<int>&arr)
{
 for (int i=arr.size()-1;i>=1;--i)
 {
  srand((unsigned)time(NULL));
  swap(arr[rand()%(i+1)],arr[i]);
 }
} 

洗牌算法生成雷區

將排列好的雷,用洗牌算法打亂生成雷區圖

for(int i=N*M-1;i>=0;i--)
{
   int iX = i/M;    //iX爲X座標
   int iY = i%M;    //iY爲Y座標
   
   int randNumber = (int)(Math.random()*(i+1));
   
   int randX = randNumber/M;
   int randY = randNumber%M;
   
   swap(iX,iY,randX,randY);
}

生成的雷區圖

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