一句话总结：欧几里得空间就是在对现实空间的规则抽象和推广（从n<=3推广到有限n维空间）。
欧几里得几何就是中学学的平面几何、立体几何，在欧几里得几何中，平行线任何位置的间距相等。
而中学学的几何空间一般是2维，3维（所以，我们讨论余弦值、点间的距离、内积都是在低纬空间总结的），如果将这些低维空间所总结的规律推广到有限的n维空间，那这些符合定义的空间则被统称为欧几里得空间（欧式空间，Euclidean Space）。
而欧几里得空间主要是定义了内积、距离、角（没错，就是初中的那些定义），理解了这些再去理解数学定义就很明确了。
来自百度百科的定义
计算两个向量的内积（对应点相乘再加总）：
两个向量内积的计算
内积的几何概念是两个向量的长度与它们夹角余弦的积，所以，内积可以表示成：
初中公式：内积
于是余弦值就是：
初中定义：余弦值
所以角的计算就是：
角的定义
计算两点x, y间的距离：
点座标之间对应相减平方加总开根号
关于非欧式空间：
非欧几何，爱因斯坦曾经形象地说明过：假定存在一种二维扁平智能生物，但它们不是生活在绝对的平面上，而是生活在一个球面上，那么，当它们在小范围研究圆周率的时候，会跟我们一样发现圆周率是3.14159……可是，如果它们画一个很大的圆，去测量圆的周长和半径，就会发现周长小于2πr，圆越大，周长比2πr小得越多，为了能够适用于大范围的研究，它们就必须修正它们的几何方法。如果空间有四维，而我们生活在三维空间中，而这个三维空间在空间的第四个维度中发生了弯曲，我们的几何就会象那个球面上的扁平智能生物一样，感受不到第四维的存在，但我们的几何必须进行修正，这就是非欧几何。在非欧几何中，平行的直线只在局部平行，就象地球的经线只在赤道上平行。
闵可夫斯基空间属于欧几里得几何的扩展，它是把时间也作为一个维度进行量化，再添加光速系数，跟洛伦兹变换一样，使得不同惯性系中的运动问题计算得以简化。
