基礎知識
標準型:就是隻有平方項
規範型:不僅只有平方項,而且平方項的係數只能是正負1
正慣性指數p:平方項係數是正數的個數
正慣性指數q:平方項係數是負數數的個數
施密特正交
我做的題一直都沒用過施密特正交,原來是因爲我求出來的特徵向量本來就是正交的
線性無關的向量不一定是正交向量
β1是α1的線性組合,β1=α1β2是α1,α2的線性組合,β2=α2−kβ1β3是α1,α2,α3的線性組合,β3=α3−k1β1−k2β2
這樣先設出來,然後強行正交求出係數的,求的時候比如β1β2T這種就已經正交等於0了
懶得寫轉置了,這樣好記些
β2=α2−β1β1α2β1β1
β3=α3−β1β1α3β1β1−β2β2α3β2β2
二次型化標準型、規範型
218【不用真的化成規範型】
二次型f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x32−4x1x2+4x1x3−8x2x3的規範型是()
(A)z12+z22+z32
(B)z12−z22−z32
(C)z12−z22
(D)z12
法①:觀察出闊以配方f(x1,x2,x3)=(x1−2x2+2x3)2,這樣直接就知道p=1,q=0了,就選D
法②:這個是通用的辦法,本來是應該化成對角矩陣,但是對角矩陣的主對角線就是特徵值,因此只用求出特徵值就能知道p,q了
∣λE−A∣=λ2(λ−9)
λ1=9,λ2=λ3=0,p,q就知道了
221【用對角陣來計算矩陣多項式】
設A∼Λ=⎣⎡123⎦⎤,f(x)=x3−6x2+11x−5,求f(A)
沒反應過來,以前計算矩陣的次冪也闊以藉助對角陣來算得哇~
設A=PΛP−1
f(A)=A3−6A2+11A−5E=PΛ3P−1+6PΛ2P−1+11PΛP−1+5E=P(Λ3−6Λ2+11Λ−5E)P−1=PEP−1=E
222(打星)【求二次型的值】
A是3階實對稱矩陣,λ=5是A的二重特徵值,對應的特徵向量爲ξ1=[1,−1,2]T,ξ2=[1,2,1]T,則二次型f(1,5,0)=多少?
我本來還以爲是像以前那樣把A矩陣求出來呢,結果發現,雖然能夠求到ξ3,但是沒有λ3得哇,因此就求不到A矩陣
而換個思路,通過觀察法或者設方程求解,闊以發現X0是能被特徵向量線性表示的,[1,5,0]T=−ξ1+2ξ2
f(x0)=X0TAX0=[−ξ1+2ξ2]TA[−ξ1+2ξ2]=[−ξ1T+2ξ2T][−5ξ1+2⋅5ξ2]=5ξ1Tξ1+−10ξ1Tξ2−10ξ2Tξ1+20ξ2Tξ2=130
225【一般正交變換】
f(x,y)=x2+4xy+y2,求正交變換[xy]=P[uv]中的P,使得f(x,y)=2u2+23uv
一般的題正交變換後都是隻有平方項,相當於求個對角陣的套路,但是這道題相當於是從一個矩陣變成另外一個相似矩陣,是我做的話就是都往對角陣變,就要求兩個矩陣P1,P2很麻煩
結果一看答案還真就是這樣做的
P1−1AP1=Λ=P2−1BP2
同時左乘P1,右乘P1−1
⇒A=P1P2−1BP2P1−1
⇒A=(P1P2−1)B(P1P2−1)−1
然後把(P1P2−1)看成一個新的P
⇒P=P1P2−1
同樣也是,因爲特徵向量之間是正交的,單位化後就是正交矩陣了,P1P2−1=P1P2T,,用這個簡化求逆矩陣
合同
合同的基本知識
合同:A與B合同:CTAC=B,C可逆,記作:A∼B
A∼B的充要條件:
⇔A,B的正負慣性指數相同
也就是說特徵值的正負的個數相同就行,比判斷相似少一個步驟,判斷相似除了特徵值相同還要看能不能對角化
226
f(x1,x2,...,xn)的秩爲r,符號差爲s,且f和−f對應的矩陣合同,則必有
(A)r是偶數,s=1
(B)r是奇數,s=1
(C)r是偶數,s=0
(D)r是奇數,s=0
矩陣f的正慣性指數爲p,負慣性指數爲q
而矩陣−f的正慣性指數就應該爲q,負慣性指數應該爲p
然後兩個還相等⇒p=q
而秩是等於正負慣性指數相加的,所以肯定是偶數,所以選(C)
228(打星)【坑大林】
設A,B都是n階可逆矩陣,則存在n階可逆矩陣P使得下列成立的有幾個:①PA=B,②P−1ABP=BA,③P−1AP=B,④PTA2P=B2
臥槽,我本來只想選③④的,看了答案後確實①是對滴,結果答案竟然選①②④,竟然③是錯的,②竟然是對的。。。
①:一看答案就能反應過來的:因爲都可逆嘛,所以都能通過行變換變成單位矩陣E,於是有P1A=E=P2B,那麼這個P矩陣就是P=P2−1P1
②:這個感覺長得奇奇怪怪的竟然是對的,取P=A就成立了
③:這個把我坑到了,沒說A,B是相似的,所以就不一定成立
④:平方之後兩個可逆矩陣的正慣性指數都是n,負慣性指數都是0,因此矩陣是合同的
由此闊以得到同階可逆矩陣的結論:
(1):兩個同階可逆矩陣一定是等價的
(2):兩個同階可逆矩陣的乘積一定是相似的P−1(AB)P=(BA)
(3):兩個同階可逆矩陣的平方一定是合同的PTA2P=B2
正定
矩陣正定的性質
①:XTAX正定⇔A的順序主子式全大於0
②:XTAX正定⇔aii>0且λi>0,因爲配方的時候就是按照平方項來配的,對角元素就相當於平方項
③:XTAX正定⇒A一定是對稱矩陣,因爲正定矩陣一定是能跟二次型相關的,能化成xTAx,而二次型矩陣肯定是對稱的,有時候沒說對稱,但是需要矩陣對稱來減少未知數的個數,比如2019超越模擬卷二的20題
233【證明題】
A爲n階對稱矩陣,B爲m×n矩陣,證明:BTAB爲正定矩陣的充要條件是r(B)=n
BTAB正定⇔∀X不等於0,有XTBTABX>0⇔(BX)TA(BX)>0,而A正定⇔BX不等於0⇔r(B)=n
234(打星)【證明題】【結論題】
正交矩陣A,B有∣A∣+∣B∣=0,證明:A+B不可逆
∵正交矩陣的行列式爲±1,且∣A∣+∣B∣=0
∴∣A∣∣B∣=−1⇒∣AT∣∣BT∣=−1
−1⋅∣A+B∣=∣AT∣∣BT∣⋅∣A+B∣=∣AT∣∣A+B∣∣BT∣=∣AT(A+B)BT∣=∣A+B∣
∴−∣A+B∣=∣A+B∣⇒∣A+B∣=0
所以不可逆