2020張宇1000題【好題收集】【第十章:線性代數(四)】

基礎知識

標準型:就是隻有平方項
規範型:不僅只有平方項,而且平方項的係數只能是正負1
正慣性指數pp:平方項係數是正數的個數
正慣性指數qq:平方項係數是負數數的個數

施密特正交

我做的題一直都沒用過施密特正交,原來是因爲我求出來的特徵向量本來就是正交的
線性無關的向量不一定是正交向量
β1α1,β1=α1β2α1,α2,β2=α2kβ1β3α1,α2,α3,β3=α3k1β1k2β2\beta_1是\alpha_1的線性組合,\beta_1=\alpha_1\\ \beta_2是\alpha_1,\alpha_2的線性組合,\beta_2=\alpha_2-k\beta_1\\ \beta_3是\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3的線性組合,\beta_3=\alpha_3-k_1\beta_1-k_2\beta_2
這樣先設出來,然後強行正交求出係數的,求的時候比如β1β2T\beta_1\beta_2^T這種就已經正交等於0了
懶得寫轉置了,這樣好記些
β2=α2α2β1β1β1β1\beta_2=\alpha_2-\frac{\alpha_2\beta_1}{\beta_1\beta_1}\beta_1

β3=α3α3β1β1β1β1α3β2β2β2β2\beta_3=\alpha_3-\frac{\alpha_3\beta_1}{\beta_1\beta_1}\beta_1-\frac{\alpha_3\beta_2}{\beta_2\beta_2}\beta_2

二次型化標準型、規範型

218【不用真的化成規範型】

f(x1,x2,x3)=x12+4x22+4x324x1x2+4x1x38x2x3二次型f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+4 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}的規範型是()
(A)z12+z22+z32z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}

(B)z12z22z32z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}

(C)z12z22z_1^2-z_2^2

(D)z12z_1^2
法①:觀察出闊以配方f(x1,x2,x3)=(x12x2+2x3)2f(x_1,x_2,x_3)=(x_1-2x_2+2x_3)^2,這樣直接就知道p=1,q=0p=1,q=0了,就選D
法②:這個是通用的辦法,本來是應該化成對角矩陣,但是對角矩陣的主對角線就是特徵值,因此只用求出特徵值就能知道p,qp,q
λEA=λ2(λ9)|\lambda E-A|=\lambda^2(\lambda-9)
λ1=9,λ2=λ3=0,p,q\lambda_1=9,\lambda_2=\lambda_3=0,p,q就知道了

221【用對角陣來計算矩陣多項式】

AΛ=[123],f(x)=x36x2+11x5,f(A)設A\sim \Lambda=\begin{bmatrix} 1& & \\ & 2& \\ & &3 \end{bmatrix},f(x)=x^3-6x^2+11x-5,求f(A)
沒反應過來,以前計算矩陣的次冪也闊以藉助對角陣來算得哇~
A=PΛP1A=P\Lambda P^{-1}
f(A)=A36A2+11A5E=PΛ3P1+6PΛ2P1+11PΛP1+5E=P(Λ36Λ2+11Λ5E)P1=PEP1=Ef(A)=A^3-6A^2+11A-5E=P\Lambda^3 P^{-1}+6P\Lambda^2 P^{-1}+11P\Lambda P^{-1}+5E=P(\Lambda^3-6\Lambda^2+11\Lambda-5E) P^{-1}=PE P^{-1}=E

222(打星)【求二次型的值】

A3,λ=5A,ξ1=[1,1,2]T,ξ2=[1,2,1]T,f(1,5,0)=A是3階實對稱矩陣,\lambda=5是A的二重特徵值,對應的特徵向量爲\xi_1=[1,-1,2]^T,\xi_2=[1,2,1]^T,則二次型f(1,5,0)=多少?
我本來還以爲是像以前那樣把AA矩陣求出來呢,結果發現,雖然能夠求到ξ3\xi_3,但是沒有λ3\lambda_3得哇,因此就求不到AA矩陣

而換個思路,通過觀察法或者設方程求解,闊以發現X0X_0是能被特徵向量線性表示的,[1,5,0]T=ξ1+2ξ2[1,5,0]^T=-\xi_1+2\xi_2

f(x0)=X0TAX0=[ξ1+2ξ2]TA[ξ1+2ξ2]=[ξ1T+2ξ2T][5ξ1+25ξ2]=5ξ1Tξ1+10ξ1Tξ210ξ2Tξ1+20ξ2Tξ2=130f(x_0)=X_0^TAX_0=[-\xi_1+2\xi_2]^TA[-\xi_1+2\xi_2]=[-\xi_1^T+2\xi_2^T][-5\xi_1+2\cdot5\xi_2]=5\xi_1^T\xi_1+-10\xi_1^T\xi_2-10\xi_2^T\xi_1+20\xi_2^T\xi_2=130

225【一般正交變換】

f(x,y)=x2+4xy+y2,[xy]=P[uv]P,使f(x,y)=2u2+23uvf(x,y)=x^2+4xy+y^2,求正交變換\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}=P\begin{bmatrix} u\\v \end{bmatrix}中的P,使得f(x,y)=2u^2+2\sqrt{3}uv
一般的題正交變換後都是隻有平方項,相當於求個對角陣的套路,但是這道題相當於是從一個矩陣變成另外一個相似矩陣,是我做的話就是都往對角陣變,就要求兩個矩陣P1,P2P_1,P_2很麻煩

結果一看答案還真就是這樣做的
P11AP1=Λ=P21BP2P_1^{-1}AP_1=\Lambda=P_2^{-1}BP_2
同時左乘P1P_1,右乘P11P_1^{-1}
A=P1P21BP2P11\Rightarrow A=P_1P_2^{-1}BP_2P_1^{-1}
A=(P1P21)B(P1P21)1\Rightarrow A=(P_1P_2^{-1})B(P_1P_2^{-1})^{-1}
然後把(P1P21)(P_1P_2^{-1})看成一個新的PP
P=P1P21\Rightarrow P=P_1P_2^{-1}

同樣也是,因爲特徵向量之間是正交的,單位化後就是正交矩陣了,P1P21=P1P2TP_1P_2^{-1}=P_1P_2^T,,用這個簡化求逆矩陣

合同

合同的基本知識

合同:AB:CTAC=B,CA與B合同:C^TAC=B,C可逆,記作:ABA\underline{\sim}B

ABA\underline{\sim}B的充要條件:
A,B\Leftrightarrow A,B的正負慣性指數相同

也就是說特徵值的正負的個數相同就行,比判斷相似少一個步驟,判斷相似除了特徵值相同還要看能不能對角化

226

f(x1,x2,...,xn)r,s,ff,f(x_1,x_2,...,x_n)的秩爲r,符號差爲s,且f和-f對應的矩陣合同,則必有
(A)r,s=1r是偶數,s=1
(B)r,s=1r是奇數,s=1
(C)r,s=0r是偶數,s=0
(D)r,s=0r是奇數,s=0

矩陣ff的正慣性指數爲pp,負慣性指數爲qq
而矩陣f-f的正慣性指數就應該爲qq,負慣性指數應該爲pp
然後兩個還相等p=q\Rightarrow p=q
而秩是等於正負慣性指數相加的,所以肯定是偶數,所以選(C)

228(打星)【坑大林】

A,Bn,nP使PA=B,P1ABP=BA,P1AP=B,PTA2P=B2設A,B都是n階可逆矩陣,則存在n階可逆矩陣P使得下列成立的有幾個:\\①PA=B,②P^{-1}ABP=BA,③P^{-1}AP=B,④P^TA^2P=B^2
臥槽,我本來只想選③④的,看了答案後確實①是對滴,結果答案竟然選①②④,竟然③是錯的,②竟然是對的。。。

①:一看答案就能反應過來的:因爲都可逆嘛,所以都能通過行變換變成單位矩陣EE,於是有P1A=E=P2BP_1A=E=P_2B,那麼這個PP矩陣就是P=P21P1P=P_2^{-1}P_1
②:這個感覺長得奇奇怪怪的竟然是對的,取P=AP=A就成立了
③:這個把我坑到了,沒說A,BA,B是相似的,所以就不一定成立
④:平方之後兩個可逆矩陣的正慣性指數都是nn,負慣性指數都是00,因此矩陣是合同的
由此闊以得到同階可逆矩陣的結論:
(1):(1):兩個同階可逆矩陣一定是等價的
(2):P1(AB)P=(BA)(2):兩個同階可逆矩陣的乘積一定是相似的P^{-1}(AB)P=(BA)
(3):PTA2P=B2(3):兩個同階可逆矩陣的平方一定是合同的P^TA^2P=B^2

正定

矩陣正定的性質

①:XTAXX^TAX正定A0\Leftrightarrow A的順序主子式全大於0

②:XTAXX^TAX正定aii>0λi>0\Leftrightarrow a_{ii}>0且\lambda_i>0,因爲配方的時候就是按照平方項來配的,對角元素就相當於平方項

③:XTAXX^TAX正定A\Rightarrow A一定是對稱矩陣因爲正定矩陣一定是能跟二次型相關的,能化成xTAxx^TAx,而二次型矩陣肯定是對稱的,有時候沒說對稱,但是需要矩陣對稱來減少未知數的個數,比如2019超越模擬卷二的20題

233【證明題】

An,Bm×n,:BTABr(B)=nA爲n階對稱矩陣,B爲m\times n矩陣,證明:B^TAB爲正定矩陣的充要條件是r(B)=n
BTABX0,XTBTABX>0(BX)TA(BX)>0,ABX0r(B)=nB^TAB正定\Leftrightarrow \forall X不等於0,有X^TB^TABX>0\Leftrightarrow (BX)^TA(BX)>0,而A正定\Leftrightarrow BX不等於0\Leftrightarrow r(B)=n

234(打星)【證明題】【結論題】

A,BA+B=0,:A+B正交矩陣A,B有|A|+|B|=0,證明:A+B不可逆

±1,A+B=0\because 正交矩陣的行列式爲\pm1,且|A|+|B|=0
AB=1ATBT=1\therefore |A||B|=-1\Rightarrow |A^T||B^T|=-1

1A+B=ATBTA+B=ATA+BBT=AT(A+B)BT=A+B-1\cdot|A+B|=|A^T||B^T|\cdot|A+B|=|A^T||A+B||B^T|=|A^T(A+B)B^T|=|A+B|

A+B=A+BA+B=0\therefore -|A+B|=|A+B|\Rightarrow |A+B|=0
所以不可逆

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