啓發式搜索求解八數碼問題

問題的定義

又稱九宮問題。在3×3的棋盤上，擺有八個棋子，每個棋子上標有1至8的某一數字，不同棋子上標的數字不相同。棋盤上還有一個空格，空格可以不超過邊界地上下左右移動。

要求解決的問題是：以啓發式搜索方法求解給定初始狀態和目標狀態的最優搜索路徑。
例如，那麼空格應該向上走一步：

問題的解決

解的表示

將九宮格中數字從上到下、從左到右順序排列後形成一個9個數字的序列（空格用0表示）來標識九宮格的一種狀態。那麼初始狀態爲：

1	2	3	4	0	5	6	7	8

目標狀態爲：

1	0	3	4	2	5	6	7	8

那麼如何唯一的確定一個狀態？這裏用到了康託展開。

康託展開

cantor展開的公式：
$X = a_n * (n-1)! + a_{n-1}*(n-2)! + a_{n-1} * (n-3)!+...+a_1*0!$
其中，$a_i$爲整數，且$0 <= a_i < i, 1<=i<=n$。

$a_i$表示原數的第i位在當前未出現的元素中是排在第幾個。

**康拓展開可以求一個排列是所有排列中的第幾大。**相當於把排列和十進制數做了映射，求出了某個排列的id。

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例如：$（1, 2, 3）$組成的排列，怎樣知道$x = 213$是所有排列中的第幾大的數？

• $a_1 = 2$，比2小的只有1，那麼小於2開頭的數有$1*2!$個。第一個數固定是1，第二個數有兩種可能的情況，第三個數只有一種情況。
  
• $a_2 = 1$，比1小的數沒有（1~n的排列），那麼小於第二位爲1的數有$0*1！$
• 因此小於213的$(1, 2, 3)$排列數有$1*2! + 0*1! = 2$個，可知213是第3大的數，可以認爲數213的id爲2。
• $1*2! + 0*1! = 2$就是一個康託展開式，實現了排列到十進制的映射。

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const int factorial[]={1,1,2,6,24,120,720,5040,40320,362880,3628800};//階乘0-10
//cantor展開,n表示是n位的全排列，num[]表示全排列的數（用數組表示）
int cantor(int num[],int n){
    int ans=0,sum=0; //sum中存放a[i]的值
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
            if(num[j]<num[i])
                sum++;
        ans+=sum*factorial[n-i];//累積
        sum=0;//計數器歸零
    }
    return ans+1;
}

逆康託展開

知道一個排列是第幾大的數，同樣可以反過來求出這個排列是什麼。
但是注意反向求時用的是id，而不是第幾大。比如剛剛的213是第3大的數，id是2。
那麼對排列(1, 2, 3)，$n = 3$ 和$id = 2$做逆康託展開：

• $2/2! = 1$餘0，則$a_3 = 1$，可知比第一位小的數有1個，所以首位爲2
• $0/1! = 0$餘1，則$a_2= 1$，比第二位小的數有0個，所以第二位爲1
• 自然最後一個數就是3了
• 得到了213，實現了十進制到排列的映射

//康託展開逆運算
void decantor(int x, int n)
{
    vector<int> v;  // 存放當前可選數
    vector<int> a;  // 所求排列組合
    for(int i=1;i<=n;i++)
        v.push_back(i);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int r = x % factorial[i-1];
        int t = x / factorial[i-1];
        x = r;
        sort(v.begin(),v.end());// 從小到大排序
        a.push_back(v[t]);      // 剩餘數裏第t+1個數爲當前位
        v.erase(v.begin()+t);   // 移除選做當前位的數
    }
    for(int i=0; i<a.size(); i++){
    	cout<<a[i]<<" "; 
	}
}

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那麼就可以把每個狀態用一個十進制數id來表示了，並能夠方便的判斷兩個狀態是否相同，搜索過程中經常要判斷是否搜索到了目標狀態。

需要注意的是，因爲空格我是用0表示，所以康託展開和逆康託展開是對於0到n-1的排列做，和1到n的計算過程有一點點區別，當然也可以直接用9表示空格。

不可達狀態的識別

如果用戶輸入的初始狀態和目標狀態本身不可達，而我們又能提前識別出這種不可達情況，就可以避免很多無謂的嘗試和計算。

可以用兩個狀態的序列逆序值的奇偶性來判斷是否可達。注意判斷逆序性時不考慮0。

• 數的逆序值：位於這個數前面的比這個數大的數的個數。
• 序列的逆序值：數列中每個數的逆序值之和

比如：

序列值	2	3	1	5	8	4	6	7
逆序值	0	0	2	0	0	2	1	1

那麼這個序列的逆序值就是$0+0+2+0+0+2+1+1 = 6$

結論：
如果兩個狀態的數字序列的逆序值奇偶性一致，則兩狀態互相可達。

證明肯定是不會證明的…

啓發函數

啓發式搜索就是利用知識來引導搜索，儘量避免搜索無效的搜索、減少搜索範圍，降低時間複雜度。啓發信息的強弱對搜索的過程有重大影響。

對於九宮格問題啓發信息一般有兩種，分別是：

• 取目標狀態與當前狀態相同的節點個數
• 當前狀態每個結點到目標狀態相應結點所需步數的總和（曼哈頓距離）

感覺兩個都比較合理，但是第二個更加合適。

因爲在第一種算出來相同的情況下，往往需要再看第二種誰的步數總和小說明哪個解更優秀。

open表和close表

• open表中用來記錄考察過的點
• close表中用來記錄當前待考察的點

因爲已經實現了每個狀態都用一個十進制數id標識，那麼open表用一個int型的數組就可以了。

而close表需要時刻按照待考察的解的啓發信息高低來排序，比較適合存在一個堆裏。

其他

爲了最後輸出步驟，需要一個int型數組parent來指示這個狀態是怎樣從前一個狀態到達的，也就是走的方向，故需要記錄前驅結點信息（包括id和方向；

搜索過程

參考文檔

結果演示

源代碼

Java實現（IDE爲IDEA）