噪聲圖像的三種低通濾波演示系統

理想低通濾波器(ILPF)：

二維理想低通濾波器的傳遞函數H（u，v）爲：

式中： $D_{0}$ 爲理想低通濾波器的截止顆率，是一個規定非負的量，這裏理想是指小於等於 $D_{0}$ 的題率可以完全不受影響地通過濾波器，而大於 $D_{0}$ 的頻率則完全通不過，因此也叫截斷頻率。這種理想低通濾波器儘管在計算機中可模擬實現，但理想低通濾波器無使用實際的電子器件硬件實現這種從1到0陡峭突變的截斷頻率。是從頻率平面上點(u,v)到頻率平面原點(0,0)的距離。

巴特沃斯低通濾波器（BLPF）：

n階巴特沃斯低通濾波器(BLPE)，它的傳遞函數爲：

當 $D\left ( u,v \right )=D_{0}$ ，n=1時， $H\left ( u,v \right )$ 在 $D_{0}$ 處的值降爲其最大值的1/2。

它的另一種巴特沃斯低通濾波器傳遞函數爲：

巴特沃斯低通法波器傳遞函數特性爲連續性衰減，而不像ILPF理想低通濾波那樣是陡峭和明顯的不連續性衰減。在它的尾部保留有較多的高頻，所以對噪聲的平滑效果不如HLPE。採用該濾波器在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減木，振鈴效應不明顯。

指數型低通濾波器(ELPF)：

指數型低通濾波器(ELPE)，它的傳遞函數爲：

式中 $D_{0}$ 爲截止頻率，n爲階數。當 $D\left ( u,v \right )=D_{0}$ ，n=1時，對於式（3.1）， $H\left ( u,v \right )$ 降爲最大值的1/e;對於式（3.2）， $H\left ( u,v \right )$ 降爲最大值的 $1/\sqrt{2}$ ，所以兩者的衰減特徵性仍有不同。由於ELPF具有比較平滑的過濾帶，經此平滑後的圖像沒有“振鈴”現象，而與巴特沃斯濾波相比，它更具有更快的衰減特性，處理的圖像稍微模糊一些。通法波器傳遞函數特性爲連續性衰減，而不像ILPF理想低通濾波那樣是陡峭和明顯的不連續性衰減。在它的尾部保留有較多的高頻，所以對噪聲的平滑效果不如HLPE。採用該濾波器在抑制噪聲的同時，圖像邊緣的模糊程度大大減木，振鈴效應不明顯。

梯形低通濾波器（TLPF）：

梯形低通濾波器(TLPF)的傳遞函數爲：

式中: $D_{0}$ 爲梯形低通濾波器的截至頻率。 $D_{0}$ 和 $D_{1}$ 按要求預先指定爲 $D_{0}< D_{1}$ ，它的性能介於理想低通濾波器與巴特沃斯低通濾波器之間，對圖像有一定的模糊和振鈴效應。

實驗步驟

1.GUI界面設計：

（1）打開guidequick start窗口，生成新的fig文件

（2）可視化的窗口設計，在窗口中拖入幾個按鈕用於交互程序的事件觸發,如下圖1，圖2：

圖 1

圖 2

2.頻率濾波基本步驟：

（1）給定一幅大小爲m*n的圖像f(x,y)。選擇適當的填充參數P和Q，一般令P = 2m，Q = 2n。

（2）對圖像f(x, y)填充0，填充後得到圖像大小爲P*Q的圖像fp(x,y)。

（3）用(-1)^(x+y)乘以fp(x,y)將其移到變換中心（中心化）。

（4）計算fp(x,y)的DFT，得到F(u,v)。

（5）生成一個實的，對稱的濾波函數H(u, v)，大小爲P*Q，中心在(P/2, Q/2)處。然後相乘（矩陣點乘）得到G(u,v) = H(u,v)F(u,v)。

（6）對G(u, v)反傅里葉變換，然後取實部，再乘以(-1)^(x+y)進行反中心變換最後得到gp(x,y)。

（7）提取gp(x,y)左上角的m*n區域，對提取的部分進行標準化處理，得到最終的結果圖像g(x,y)。

實驗結果

相關代碼:

（1）“高斯低通濾波”按鈕

 function noisyy_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to noisyy (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
axes(handles.axes2);
global S
global Image2
g=imnoise(S,'gaussian',0.01);
imshow(g);
Image2=g;
title('噪聲處理');

（2）巴特沃斯低通濾波按鈕

function pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to pushbutton1 (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
axes(handles.axes2);
global S
global Image2
I=im2double(S);
M=2*size(I,1);              %濾波器行數
N=2*size(I,2);              %濾波器列數
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u,v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=50;
n=6;
H=1./(1+(D./D0).^(2*n));    %構造巴特沃斯濾波器
J=fftshift(fft2(I,size(H,1),size(H,2)));    %轉換到頻域
K=J.* H;
L=ifft2(ifftshift(K));      %傅里葉反變換
L=L(1:size(I,1),1:size(I,2));
imshow(L);
Image2=L;title('巴特沃斯');

（3）“理想低通濾波”按鈕

 function pushbutton2_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to pushbutton2 (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
axes(handles.axes2);
global S
global Image2
I=im2double(S);
M=2*size(I,1);               %濾波器行數
N=2*size(I,2);               %濾波器列數
u=-M/2:(M/2-1);
v=-N/2:(N/2-1);
[U,V]=meshgrid(u,v);
D=sqrt(U.^2+V.^2);
D0=80;                         %截止頻率設置爲80
H=double(D<=D0);             %理想低通濾波器
J=fftshift(fft2(I,size(H,1),size(H,2)));  %時域圖像轉換到頻域
K=J.*H;                         %濾波處理
L=ifft2(ifftshift(K));       %傅里葉反變換
L=L(1:size(I,1),1:size(I,2));
%figure;
imshow(L);                      %顯示濾波後的圖像
Image2=L;title('理想濾波¨');

（4）“梯形低通濾波”按鈕

 function pushbutton3_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to pushbutton3 (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
axes(handles.axes2);
global S
global Image2
IA=im2double(S);
[f1,f2]=freqspace(size(IA),'meshgrid');
%D=1020/size (IA,1) ;
D0=0.1 ;
D1=0.4;
r=sqrt (f1.^2+f2.*2) ;
Hd=zeros (size (IA)) ;
Hd(r<D0)=1;
Y= fft2 (double (IA)) ;
Y= fftshift (Y) ;
Ya=Y.*Hd;
Ya=ifftshift (Ya) ;
L= real (ifft2 (Ya)) ;
imshow (uint8(L)) ;
imshow(L);                        %顯示濾波後的圖像
Image2=L;title('梯形濾波');

（5）“導入”按鈕

function btn_show_Callback(hObject, eventdata, handles)
% hObject    handle to btn_show (see GCBO)
% eventdata  reserved - to be defined in a future version of MATLAB
% handles    structure with handles and user data (see GUIDATA)
[filename,pathname]=uigetfile({'*.bmp;*.jpg;*.png;*.jpeg;*.tif','文件類型(*.bmp,*.jpg,*.png,*.jpeg,*.tif)';'*.*', '所有文件(*.*)'},'Pick an image');
axes(handles.axes1);        %用axes命令設定當前操作的座標軸爲axes1;
fpath=[pathname filename];   %將文件名和目錄組成一個完整的路徑
Image=imread(fpath);
global S
S = Image;
imshow(Image);
set(handles.pushbutton1,'Enable','on');  %使其在打開命令使用後，可繼續使用，放在最後。
guidata(hObject,handles);               %用來更新句柄

運行結果:

1.高斯噪聲處理：