2020全國統一省選day1 魔法商店

題目

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正解

據說是一道論文題……
論文：2018集訓隊論文高睿泉《淺談保序迴歸問題》

保序迴歸問題：
有一個正整數$p$，給出一個有向圖，點$i$有權值$(w_i,y_i)$，需要調整$y_i$的值使得$y_i$滿足有向無環圖的偏序關係。調整的代價爲前後$y_i$的差的$p$次方乘$w_i$，求最小的代價。
形式化地說：給每個點賦一個新的權值$f_i$，使得每條邊$(u,v)\in E$滿足$f_u\leq f_v$，求$\sum w_i|f_i-y_i|^p$的最小值。
這樣的問題記作$L_p$

其實這種問題之前已經做過一次了：jzoj6734. 【2020.06.18省選模擬】T2 航行
沒錯就是比賽的前天做到的題
套路做法：整體二分，強制每個權值只能選擇$mid$或$mid+1$，跑最大（小）權閉合子圖，選$mid$的點最終的權值$\leq mid$，選$mid+1$的點最終的權值$>mid$，分開來遞歸求解。
之前做的那一道題的限制關係比較優美，所以可以DP處理。

最大（小）權閉合子圖：
“閉合子圖”就是某個點集$V$，滿足對於任意$u \in V$，對於任意$(u,v)\in E$都有$e\in V$。用人話說就是從$V$中的每個點開始遍歷，
能夠遍歷到的每個點都在$V$中。每個點上有個權值$w_i$，要選出一個閉合子圖使得點權最大。
一般套路：網絡流，建個新圖。對於每個點$i$，如果$w_i>0$就連邊$(S,i,w_i)$，如果$w_i<0$就連邊$(i,T,-w_i)$。原圖中的每一條邊都在新圖中對應地連，容量無窮。
答案爲$\sum_{w_i>0} w_i-最小割$
理解：如果不考慮限制，則貪心地選所有正權點是最優的。加入限制，對於一個點$u$，如果它不選，則所有$v$，滿足從$v$開始遍歷可以走到$u$，這些$v$都不能選。顯然所有$u$滿足這個條件是充分必要條件。
放在圖中來看：割掉邊$(u,T)$，即選$v$，或者割掉邊$(S,v)$，即不選$v$。

具體來說，求解最大（小）權閉合子圖的時候，如下處理：
將權值選$mid$記作“不選”，將權值選$mid+1$記作“選”。
對於點$i$，它的權值設爲$-(w(i,mid+1)-w(i,mid))$（$w(i,f)$爲$y_i$變爲$f$時的代價）。爲什麼這麼設，因爲本該跑最小權閉合子圖，取個負號就變成最大權閉合子圖了。當然也可以不這樣設。
如果某個點“選”，那麼它能遍歷到的所有點都必須“選”。由此得出限制關係，建圖。
跑最大權閉合子圖。
答案即$\sum w(i,mid)-最大權$
具體方案看$S$集或$T$集即可。

這題的正解大概可以分爲兩個部分：求出限制關係和求解保序迴歸問題。
後者上面已經討論過了，就講述一下前者。
只考慮$A$帶來的限制，$B$同理。
顯然一個禮品集合就是一個線性基。假如有另一個線性基$C$，它可以通過從$A$開始，依次替換線性基中的向量得到，並且保證替換的過程中一直都是線性基。
表示不會證。（具體證明好像要用到擬陣之類的）。
假設知道了上面的結論是對的，那麼顯然我們只需考慮$A$被替換了一個元素的情形。於是，對於每個數$c_i$，找到$c_i$能替換哪些元素，欽定它們都要小於等於$c_i$。
不難發現$c_i$能替換哪些元素，等價於$c_i$能被表示成$A$中的哪些元素異或起來。
這應該是線性基的一個基本操作吧。建線性基的時候，用個bitset來表示線性基中的某個數是原來的哪幾個數異或過來。查詢的時候，將異或的線性基中的幾個數的bitset異或起來。詳見代碼。
這題$m$比較小，直接開整型壓位即可。
（有更優美的操作請路過的大佬指教）

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代碼

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#define N 1005
#define M 64
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define INF LLONG_MAX
int n,m;
ull c[N];
int v[N],y[N];
int a[M],b[M];
struct edge{
	int u,v;
} ed[N*M*2];
int cnt;
void getGraph(int a[],int flag){
	static ull s[M],p[M];
	memset(s,0,sizeof s);
	memset(p,0,sizeof p);
	for (int i=0;i<m;++i){
		ull x=c[a[i]],t=1ull<<i;
		for (int j=0;j<64;++j)
			if (x>>j&1){
				if (s[j]){
					x^=s[j];
					t^=p[j];
				}
				else{
					s[j]=x;
					p[j]=t;
					break;
				}
			}
	}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		ull x=c[i],t=0;
		for (int j=0;j<64 && x;++j)
			if (x>>j&1){
				x^=s[j];
				t^=p[j];
			}
		for (int j=0;j<m;++j)
			if (t>>j&1 && a[j]!=i)
				ed[cnt++]=(flag==1?(edge){a[j],i}:(edge){i,a[j]});
	}
}

struct EDGE{
	int to;
	ll c;
	EDGE *las;
} e[(N*M*2+N)*2];
int ne;
EDGE *last[N];
int S,T;
void link(int u,int v,ll c){
	e[ne]={v,c,last[u]};
	last[u]=e+ne++;
}
#define rev(ei) (e+(int((ei)-e)^1))
int dis[N],gap[N],BZ;
EDGE *cur[N];
ll dfs(int x,ll s){
	if (x==T)
		return s;
	ll have=0;
	for (EDGE *ei=cur[x];ei;ei=ei->las){
		cur[x]=ei;
		if (ei->c && dis[ei->to]+1==dis[x]){
			ll t=dfs(ei->to,min(s-have,ei->c));
			ei->c-=t,rev(ei)->c+=t,have+=t;
			if (have==s)
				return s;
		}
	}
	cur[x]=last[x];
	if (!--gap[dis[x]])
		BZ=0;
	++dis[x];
	++gap[dis[x]];
	return have;
}
void flow(){
	BZ=1;
	while (BZ)
		dfs(S,INF);
}

int p[N];
ll need(int x,int y){return (ll)(v[x]-y)*(v[x]-y);}
int vis[N],bz;
void find(int x){
	vis[x]=bz;
	for (EDGE *ei=last[x];ei;ei=ei->las)
		if (ei->c && vis[ei->to]!=bz)
			find(ei->to);
}
void divide(int lv,int rv,int p[],int n,edge ed[],int m){
	static int tmpp[N];
	static edge tmped[N*M*2];
	if (n==0)
		return;
	if (lv==rv){
		for (int i=0;i<n;++i)
			y[p[i]]=lv;
		return;
	}
	int mid=lv+rv>>1;
	ne=0;
	for (int i=0;i<n;++i)
		last[p[i]]=0;
	last[S]=last[T]=0;
	for (int i=0;i<m;++i){
		link(ed[i].u,ed[i].v,INF);
		link(ed[i].v,ed[i].u,0);
	}
	for (int i=0;i<n;++i){
		ll w=-(need(p[i],mid+1)-need(p[i],mid)); 		
		if (w>0)
			link(S,p[i],w),link(p[i],S,0);
		else if (w<0)
			link(p[i],T,-w),link(T,p[i],0);
	}
	dis[S]=dis[T]=0;
	for (int i=0;i<n;++i)
		dis[p[i]]=0;
	gap[0]=n+2;
	flow();
	gap[dis[S]]--,gap[dis[T]]--;
	for (int i=0;i<n;++i)
		gap[dis[p[i]]]--;

	++bz,find(S);
	int p0=0,p1=n-1;
	for (int i=0;i<n;++i)
		if (vis[p[i]]!=bz)
			tmpp[p0++]=p[i];
		else
			tmpp[p1--]=p[i];
	memcpy(p,tmpp,sizeof(int)*n);
	int e0=0,e1=m-1;
	for (int i=0;i<m;++i)
		if (vis[ed[i].u]!=bz && vis[ed[i].v]!=bz)
			tmped[e0++]=ed[i];
		else if (vis[ed[i].u]==bz && vis[ed[i].v]==bz)
			tmped[e1--]=ed[i];
	memcpy(ed,tmped,sizeof(edge)*m);
	divide(lv,mid,p,p0,ed,e0);
	divide(mid+1,rv,p+p1+1,n-1-p1,ed+e1+1,m-1-e1);
}
int main(){
	freopen("shop.in","r",stdin);
	freopen("shop.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%llu",&c[i]);
	for (int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&v[i]);
	for (int i=0;i<m;++i)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=0;i<m;++i)
		scanf("%d",&b[i]);
	getGraph(a,1),getGraph(b,-1);
	for (int i=0;i<n;++i)
		p[i]=i+1;
	S=n+1,T=n+2;
	divide(0,1000000,p,n,ed,cnt);
	ll ans=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		ans+=need(i,y[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}