我終於理解輾轉相除法了

輾轉相除法求最大公約數

輾轉相除法

有兩整數a和b( a>b ) ：

① a%b得餘數c

② 若c=0，則b即爲兩數的最大公約數

③ 若c≠0，則a=b，b=c，再回去執行①

例如求27和15的最大公約數過程爲：

27÷15 餘12
15÷12餘3
12÷3餘0因此，3即爲最大公約數

要想解釋輾轉相除法的原理，需要先知道以下兩點：

一、一個一般定理：
如果a是任一整數而b是任一大於零的整數，則我們總能找到一整數q，使
a=bq+r
這裏r是滿足不等式0<=r<b的一個整數。

二、最大公因子的表示方法：
如果整數a和b的最大公因子是d，則表示爲d=(a,b) （不知道現在教科書上是怎麼表示的）

給定a和b（a>=b)兩個整數，求最大公因子d。
根據上邊給的定理，可以將a寫成
a=bq+r
輾轉相除法是告訴我們
(a,b)=(b,r)
即a和b的最大公因數和b和r（r是a除以b的餘數）的最大公因數是相等的。

原理：因爲對任意同時整除a和b的數u，有
a=su，b=tu，
它也能整除r，因爲r=a-bq=su-qtu=(s-qt)u。
反過來每一個整除b和r的整數v，有
b=s’v , r=t’v
它也能整除a，因爲a=bq+r=s’vq+t’v=(s’q+t’)v.
因此a和b的每一個公因子同時也是b和r的一個公因子，反之亦然。這樣由於a和b的全體公因子集合與b和r的全體公因子集合相同，所以a和b的最大公因子必須等於b和r的最大公因子，這就證明了上邊的等式。即(a,b)=(b,r)。

以下是輾轉相除法求最大公約數算法實現：

int fun(int a,int b)
{
    int t,m;
    int c;
    if (a < b)                                              
    {
        t = a;
        a = b;
        b = t;
    }
    m = a * b;
    
    
    c = a % b;                                          
    while (c != 0)                                      
    {
        a = b;                                              
        b = c;                                          
        c = a % b;                                      
    }
    
    return b;
}

而求最小公倍數，用最小公倍數算法：

最小公倍數=兩整數的乘積÷最大公約數

即可