心中有樹——基礎

樹

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樹 （Tree）
樹是n（n>=0)個結點的有限集，n=0時稱爲空樹。樹的定義使用了遞歸的方式，樹是數據結構中的重中之重。
非空樹特性：
1）有且僅有一個特定的稱爲根（Root）的結點，根有且僅有一個；
2）當n>1時，其餘結點可分爲m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱爲根的子樹。

結點
結點是數據結構中的基礎，是構成複雜數據結構的基本組成單位

度
結點擁有的子樹數目稱爲結點的度。

結點關係

• 結點子樹的根結點爲該結點的孩子結點，如B是A的孩子結點。相應該結點稱爲孩子結點的雙親結點，A是B的雙親結點。
• 同一個雙親節點的孩子結點之間互稱兄弟結點，如B和C稱爲兄弟結點

層次
從根開始定義起，根爲第一層，根的孩子爲第二層，以此類推。

樹的深度
樹中結點的最大層次數稱爲樹的深度或高度。圖中樹的深度爲4。

二叉樹

二叉樹是n(n>=0)個結點的有限集合，二叉樹由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱爲根結點的左子樹和右子樹組成。每個結點最多有兩個孩子結點。

二叉樹特點

• 每個結點最多有兩顆子樹，左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
• 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。
• 在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個結點 （i>=1）
• 二叉樹中如果深度爲k，那麼最多有2k-1個結點。(k>=1）
• 在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度爲[log2(n)]+1，其中[log2(n)]是向下取整。

二叉樹性質
1）在二叉樹的第i層上最多有2i-1 個節點 。（i>=1）
2）二叉樹中如果深度爲k,那麼最多有2k-1個節點。(k>=1）
3）n0=n2+1 n0表示度數爲0的節點數，n2表示度數爲2的節點數。
4）在完全二叉樹中，具有n個節點的完全二叉樹的深度爲[log2n]+1，其中[log2n]是向下取整。
5）若對含 n 個結點的完全二叉樹從上到下且從左至右進行 1 至 n 的編號，則對完全二叉樹中任意一個編號爲 i 的結點有如下特性：

(1) 若 i=1，則該結點是二叉樹的根，無雙親, 否則，編號爲 [i/2] 的結點爲其雙親結點;
(2) 若 2i>n，則該結點無左孩子， 否則，編號爲 2i 的結點爲其左孩子結點；
(3) 若 2i+1>n，則該結點無右孩子結點， 否則，編號爲2i+1 的結點爲其右孩子結點。

斜樹
所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹。所有結點都是隻有右子樹的二叉樹叫右斜樹。這兩者統稱爲斜樹。

滿二叉樹
在一棵二叉樹中。如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有葉子都在同一層上，這樣的二叉樹稱爲滿二叉樹。

• 葉子只能出現在最下一層，出現在其它層就不可能達成平衡。
• 非葉子結點的度一定是2
• 在同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子數最多
  
  完全二叉樹
  對一顆具有n個結點的二叉樹按層編號，如果編號爲i(1<=i<=n)的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號爲i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱爲完全二叉樹。滿二叉樹是一種特殊的完全二叉樹。
• 葉子結點只能出現在最下層和次下層。倒數第二層若存在葉子結點，一定是右結點
• 如果結點度爲1，則該結點只有左孩子，即沒有右子樹
• 最下層的葉子結點集中在樹的左部。
• 同樣結點數目的二叉樹，完全二叉樹深度最小。
  

二叉樹存儲結構

順序存儲
二叉樹的順序存儲結構就是使用一維數組存儲二叉樹中的結點，並且結點的存儲位置，就是數組的下標索引。

順序存儲一般適用於完全二叉樹。其他二叉樹可能有嚴重的空間浪費。

二叉鏈表
使用鏈式存儲方式，將結點數據結構定義爲一個數據和兩個指針域。

二叉樹遍歷

二叉樹的遍歷是指從二叉樹的根結點出發，按照某種次序依次訪問二叉樹中的所有結點，使得每個結點被訪問一次，且僅被訪問一次。
按時訪問次序有四種遍歷法：

• 前序遍歷
• 中序遍歷
• 後序遍歷
• 層序遍歷
  

前序遍歷
從二叉樹的根結點出發，當第一次到達結點時就輸出結點數據，第二次不輸出數據，按照先向左再向右的方向訪問，從根節點向下先遍歷完最左的節點。
遍歷過程：
1）從A開始遍歷，第一次到達A,輸出A。同理輸出B
2）B訪問後，B有左子結點D，則訪問D輸出D。D有左子結點H，訪問輸出H
3）H是葉子結點，訪問完畢後返回D,繼續訪問D的右結點E,輸出E。同理訪問輸出J。
4）從E返回到B,返回到A,訪問A的右子結點，最後一次輸出C、F、G
輸出結果： ABDHIEJCFG

中序遍歷
從二叉樹的根結點出發，當第二次到達結點時就輸出結點數據，當訪問到葉節點時也輸出數據，按照先向左在向右的方向訪問。
遍歷過程：
1）如前序遍歷一樣，遍歷到H時，H是葉節點輸出H。
2）從H返回到D,第二次遍歷D,輸出D。同理輸出葉節點I。
3）返回第二次訪問B，輸出B。同理輸出J、E。
4）返回第二次訪問A ,同理輸出F、C、G。
輸出結果：HDIBJEAFCG

後序遍歷
從二叉樹的根結點出發，當第三次到達結點時就輸出結點數據，但當訪問到葉節點時也輸出數據，按照先向左在向右的方向訪問。當結點的子節點被輸出後，可以視作將該節點的該子節點移除，兩個子節點都被輸出後，該節點也相當於是個葉節點了。
遍歷過程：
1） 如同中序遍歷中，第一個葉節點輸出H，第二個節點輸出I。
2）從I返回D時是第三次訪問D，輸出D。
3）接着訪問輸出的葉節點是J，返回E後是第二次訪問，此時J已輸出，可將E看成一個葉節點輸出E
4）接下來同理輸出的是B、F、G、C、A
輸出結果：HIDJEBFGCA

層次遍歷
按照樹的層次自上而下的遍歷二叉樹，一層一層的遍歷完數據。
輸出結果：ABCDEFGHIJ

二叉樹考題

首先要清楚幾種二叉樹遍歷的特性。

1. 前序遍歷第一個輸出結點爲根結點
2. 中序遍歷中根結點處於左右子樹結點中間，不一定是正中間
3. 後序遍歷中最後訪問的爲根結點
4. 層次遍歷，只要知道輸出結果，基本能確定N-2及以上層次的結構。

考題：若一棵二叉樹的後序遍歷爲ABCDFE，中序遍歷爲ABCEDF，請畫出這棵二叉樹。
分析：後續遍歷爲ABCDFE，則根節點爲E。 中序遍歷爲CBAEDF，則根節點E左邊爲CBA，右邊爲DF。根據特性可畫出樹的結構圖如下：

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