ABC.173.F - Intervals on Tree

ABC.173.F - Intervals on Tree

傳送門

題意：給定$n$個結點$n-1$條邊的樹，求結點的所有子集$(區間[l,r])$的連通塊的和。

思路：考慮最開始爲$n$個孤立點的所有子集的連通塊的和，再減去每條邊對於連通塊的貢獻。

顯然每個點就是一個連通塊。

考慮包含$1$的子集(區間): $l\leq1,r\geq1$，$l$有1種選擇，$r$有$n-1+1$種選擇。

即$1\times(n-1+1)=n$種選擇。

包含$2$子集(區間)：$l\leq2,r\geq2$，$l$有$2$種選擇，$r$有$n-2+1$種選擇。

即$2\times(n-2+1)=2\times(n-1)$

依次類推：

可得總連通塊數：

$\sum\limits_{i=1}^ni\times(n-i+1)\\=(n+1)\times\sum\limits_{i=1}^ni-\sum\limits_{i=1}^ni^2\\=(n+1)\times \dfrac{n(n+1)}{2}-\dfrac{n(n+1)(n+2)}{6}\\=\dfrac{n(n+1)(3n+3-(n+2))}{6}\\=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

顯然對於邊$(u,v)$，(假設$u<v$，因爲區間$l\leq r$），顯然包含邊$(u,v)$的子集(區間)。

$l\leq u,r\geq v$，一共$u\times(n-v+1)$個子集，每個子集因爲$u,v$的相連會把$u,v$兩個連通塊減爲$1$個。所以答案要減去$u\times(n-v+1)$。

所以一邊讀入一邊減去貢獻即可。

時間複雜度：$O(n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,M=1e6+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
#define mst(a) memset(a,0,sizeof a)
#define lx x<<1
#define rx x<<1|1
#define reg register
#define PII pair<int,int>
#define fi first 
#define se second
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	ll ans=1LL*n*(n+1)*(n+2)/6;
	for(int i=1;i<n;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		if(u>v) swap(u,v);
		ans-=1LL*u*(n-v+1); 
	}
	printf("%lld\n",ans); 
	return 0;
}