一 幾個概念：
最優化問題：有n個輸入，它的解由這n個輸入的一個子集組成，這個子集必須滿足某些事先給定的條件，這些條件稱爲約束條件，滿足約束條件的解稱爲問題的可行解。滿足約束條件的可行解可能不止一個，爲了衡量這些可行解的優劣，事先給出一定的標準，這些標準通常以函數的形式給出，這些標準函數稱爲目標函數，使目標函數取得極值的可行解成爲最優解，這類問題稱爲最優化問題。
二 最優性原理：
對於一個具有n個輸入的最優化問題，其求解的過程往往可以劃分爲若干個階段，每一個階段的決策僅依賴前一階段的狀態，由決策所採取的動作使狀態發生轉移，成爲下一個階段的依據。從而，一個決策序列在不斷變化的狀態中產生。這個決策序列產生的過程稱爲多階段決策過程。
在每一個階段的決策中有一個賴以決策的策略或目標，這種策略或目標是由問題的性質和特點所確定，通常以函數的形式表示並具有遞推關係，稱爲動態規劃函數。
多階段決策過程滿足最優性原理：無論決策過程的初始狀態和初始決策是什麼，其餘決策必須相對於初始決策所產生的當前狀態，構成一個最優決策序列。
如果一個問題滿足最優性原理通常稱此問題具有最優子結構性質。
三 特徵
我們知道動態規劃是求解全局最優解的有效方法，一般來說能用動態規劃算法求解的問題具有以下兩個顯著特稱：
-
具有最優子結構性質，也就是說可以遞歸的定義最優解。
-
能夠分解爲相互重疊的若干自問題。
-
最優解中也包含其子問題的最優解。
四 設計方案
動態規劃法設計方案
-
分段：將原問題分解爲若干個相互重疊的子問題；
-
分析：分析問題是否滿足最優子結構性質，找出動態規劃函數遞推式；
-
求解：利用遞推式自底向上計算，實現動態規劃過程。
五 01揹包問題
0/1揹包問題中，物品i或者被放入揹包，或者不被放入揹包，設Xi表示物品i裝入揹包的情況，則當Xi=0時，表示物品i沒有被裝入揹包，Xi=1時，表示物品i被裝入揹包。根據問題的要求，有如下約束條件和目標函數：
圖 1 約束條件
圖2 目標函數
01揹包的狀態轉換方程f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重爲j的揹包中，可以取得的最大價值。
Pi表示第i件物品的價值。
決策：爲了揹包中物品總價值最大化，第i件物品應該放入揹包中嗎？
六 動態規劃法解決方案
有編號分別爲a,b,c,d,e的五件物品，它們的重量分別是2,2,6,5,4，它們的價值分別是6,3,5,4,6，現在給你個承重爲10的揹包，如何讓揹包裏裝入的物品具有最大的價值總和
|
name |
weight |
value |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
a |
2 |
6 |
0 |
6 |
6 |
9 |
9 |
12 |
12 |
15 |
15 |
15 |
|
b |
2 |
3 |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
9 |
9 |
9 |
10 |
11 |
|
c |
6 |
5 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
11 |
|
d |
5 |
4 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
10 |
10 |
|
e |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
6 |
表10/1揹包問題動態規劃法
表1採用自底向上自左向右的方式生成的。
e1表示在揹包容量爲1的情況下僅僅放入物品e的價值，因容量1<4因此價值爲0；依此類推當揹包容量爲4時，單元格e4的價值爲6。容量繼續上漲也只能放置e，因此價值持續爲6。
d行可參照遞推式f[i,j]= Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }如下描述
-
i<=5時，d行表格價值與e行相同；
-
i>=6時，比如第6行，選取Max{f[1,1]+4,f[1,6]}即Max{e1+4, e6}=Max{4, 6} = 6;依此類推d9=Max{f[1,4]+4,f[1,59}=10;
依次類推可計算c/b/a的值,然後根據最大價值返算最優路徑。
d1表示揹包容量爲1的情況下放置物品d和e後的價值，因e的重量爲4>1，且d的重量爲5>1因此價值爲0。直至第5列(不包括d5)d行表格的內容與e行相同，
七 程序實現C＃
代碼段1 測試函數
class MainClass
{
public static void Main (string[] args)
{
Obj[] objs = new Obj[4];
objs[0] = new Obj() { Weight = 7, Price = 42 };
objs[1] = new Obj() { Weight = 3, Price = 12 };
objs[2] = new Obj() { Weight = 4, Price = 40 };
objs[3] = new Obj() { Weight = 5, Price = 25 };
Console.WriteLine ("Dynamicprogramming Model:");
dynamicprogramming d = new dynamicprogramming (objs, 10);
int price = d.Execute ();
d.Printing (price);
//Console.Read();
}
}代碼段2 實現函數
public class dynamicprogramming
{
/// <summary>
/// 存儲動態規劃的遞推數據
/// m_V[i][j]表示前i個物品放入容量爲j的揹包獲得的最大價值
/// 其中第0行作爲初始化，表示不放入物品時的價值；
/// 第0列作爲初始化，表示容量爲0時能放入物品的價值；
/// </summary>
private int[,] m_V;
/// <summary>
/// 物品數量
/// </summary>
private int m_n;
/// <summary>
/// 揹包容量
/// </summary>
private int m_w;
public Obj[] objs {
get;
set;
}
public dynamicprogramming (Obj[] objs, int w)
{
if (objs == null) {
return;
}
m_n = objs.Length;
this.objs = objs;
m_w = w;
m_V = new int[m_n + 1, m_w + 1];
for (int i = 0; i < m_w+1; i++) {
m_V [0, i] = 0;
}
for (int i = 0; i < m_n+1; i++) {
m_V [i, 0] = 0;
}
}
public int Execute()
{
for (int r = 1; r <= m_n; r++) {
for (int w = 1; w <= m_w; w++) {
if (w < objs[r - 1].Weight) {
m_V[r, w] = m_V[r - 1, w];
} else {
int tmp = m_V [r - 1, w - objs [r - 1].Weight] + objs [r - 1].Price;
m_V [r, w] = m_V [r - 1, w] > tmp ? m_V [r - 1, w] : tmp;
}
}
}
//求裝入揹包的物品
int weight = m_w;
for (int i = m_n; i > 0; i--) {
if (m_V[i, weight] > m_V[i - 1, weight]) {
objs [i - 1].Selected = true;
weight -= objs [i - 1].Weight;
}
}
return m_V[m_n, m_w];
}
public void Printing(int price)
{
Console.Write("<");
for (int i = 0; i < objs.Length; i++)
{
Console.Write(objs[i].Selected ? "1 " : "0 ");
}
Console.WriteLine(">, price: " + price );
}
}輸出結果：
注：上述程序使用FreeBSD下Mono開發。