【数学建模】基本模型学习笔记（Python编程）

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$\color{#f15642}{\large \mathbf{ 一}}$

模型	参考
层次分析法	①视频简介 ②算法推导 ③计算方法
多属性决策法	①视频简介 ②详细解说

1 层次分析法

1.1 题目

• 建模步骤
  

• 建立层次结构模型
  目标：选择合适的旅游地
  从上至下，依次为目标层、准则层、方案层。（有没有觉得这个图很漂亮？中途安利一个在线绘图网站【点我】）
  

• 构造成对比较矩阵

标度	含义
1	同样重要
3	稍微重要
5	明显重要
7	强烈重要
9	极端重要
2，4，6，8	判断中值
倒数	反过来比较

根据已建立的模型，通过查找资料，并对大量数据进行分析，得到如下成对比较矩阵。（数据来源于参考文献）
1）C层：以${Z}$为目标，你认为${Ci比Cj}$重要多少？
$C_{Z}=C_{5} \times C_{5}= \begin{bmatrix} 1&\frac{1}{2} &4 &3 &3 \\ 2 &1 &7 &5 &5 \\ \frac{1}{4} &\frac{1}{7} &1 &\frac{1}{2} &\frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &2 &1 &1 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{5} &3 &1 &1 \end{bmatrix}$

2）P层：以${C_{1}}$为目标，你认为${Pi比Pj}$重要多少？
$P_{A1}=P_{3} \times P_{3} = \begin{bmatrix} 1 &2 &5 \\ \frac{1}{2} &1 &2 \\ \frac{1}{5} &\frac{1}{2} &1 \end{bmatrix}$

同理，分别以${A_{2-5}}$为目标，你认为${Bi比Bj}$重要多少？
$P_{A2}= \begin{bmatrix} 1 &\frac{1}{3} &\frac{1}{8} \\ 3 &1 &\frac{1}{3} \\ 8 &3 &1 \end{bmatrix} P_{A3}= \begin{bmatrix} 1 &1 &3 \\ 1 &1 &3 \\ \frac{1}{3} &\frac{1}{3} &1 \end{bmatrix} P_{A4}= \begin{bmatrix} 1 &3 &4 \\ \frac{1}{3} &1 &1 \\ \frac{1}{4} &1 &1 \end{bmatrix} P_{A5}= \begin{bmatrix} 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 1 &1 &\frac{1}{4} \\ 4 &4 &1 \end{bmatrix}$

• 计算权重向量&一致性检验
  ①A的列向量归一化
  ②求行和，然后归一化得到权重向量w
  ③根据特征值定义求得w对应特征值，即为最大特征值λ（近似）。
  $w=\begin{bmatrix} 0.263 \\ 0.475 \\ 0.055 \\ 0.090 \\ 0.110 \end{bmatrix}$
  $\lambda=5.073$
  一致性指标,nXn矩阵：CI = (λ-n)/(n-1)
  $CI= \frac{5.073-5}{5-1}=0.018$
  随机一致性指标（查表）nXn矩阵
  $RI=1.12$
  一致性比率，不通过要重新构建成对比较矩阵
  $CR=\frac{CI}{RI}=\frac{0.018}{1.12}=0.016<0.1(通过一致性检验）$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

注：按照相同方法计算${B_{1-5}}$权重向量和对应特征值，并分析一致性。

• 计算组合权重向量
  目标：求方案层${B1, B2, B3}$分别对于目标层${Z}$的权重
  举例：${B1}$对于${A1, A2, A3, A4, A5}$的权重分别乘以${A1, A2, A3, A4, A5}$相对于${Z}$的权重。
  $B_{1→Z}=0.595 \times 0.263+0.082 \times 0.475+0.429 \times 0.055 + 0.633 \times 0.099 + 0.166 \times0.110=0.3$

根据上理，分别求出${B对Z}$权重即可
(不知不觉写了好多推导过程，虽然都是参考别人的，但还是耗费太多时间，后面我尽量减少过程，直接建模）

1.2 Python源码

#!/usr/bin/env python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
输入成对比较矩阵（list），输出一致性比率和权重向量，输入list为单行形式
如：[[1,2,5], [1/2,1,2], [1/5,1/2,1]]
提示：对特征向量的不同求解方法将会得到不同权重向量
"""
import numpy as np

# 随机一致性指标
RI_dict = {1: 0, 2: 0, 3: 0.58, 4: 0.90, 5: 1.12,
           6: 1.24, 7: 1.32, 8: 1.41, 9: 1.45, 10: 1.49, 11: 1.51}


def get_w(array):
    """
    1.列向量归一化
    2.求每行元素之和归一化得到权重向量w
    3.根据特征值定义求w对应的特征值即为最大特征值 λ
    """
    row = array.shape[0]  # 计算出阶数
    a_axis_0_sum = array.sum(axis=0)  # 1.列元素和 向量
    b = array / a_axis_0_sum  # 1.列向量归一化
    b_axis_1_sum = b.sum(axis=1)  # 2.每一行元素之和
    w = b_axis_1_sum / row  # 2.归一化处理(获得权重向量向量)提示：经过1的归一化后，矩阵所有元素之和为矩阵阶数，因此除以阶数
    AW = (w * array).sum(axis=1)  # 行和
    max_max = sum(AW / (row * w))  # 获得对应的特征值，即最大特征值
    CI = (max_max - row) / (row - 1)
    CR = CI / RI_dict[row]
    if CR < 0.1:
        print("一致性比率为：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('满足一致性')
        return w
    else:
        print("一致性比率为：{0}".format(round(CR, 3)))
        print('不满足一致性，请进行修改')


def main(array):
    if type(array) is np.ndarray:
        return get_w(array)
    else:
        print('请输入numpy对象')


if __name__ == '__main__':
    matrix = np.array(eval(input("输入成对比较矩阵：")))
    print("权重向量：{0}".format(main(matrix)))

2 多属性决策法

2.1 题目

突然发现2019年亚太杯（APMCM）第B题三问可以用这个模型。本文不讨论APMCM，因为他的数据太多，太耗费时间，有兴趣的可以百度看看。如果有时间我再用这个模型复现一下那道题。/flag1
本文讨论的题目：对4家企业进行投资评估（来自参考视频）

• 属性值归一化
  有4家企业 ${x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}}$，分别有5项属性 产值（万元），投资成本（万元），销售额（万元）， 国家收益比重， 环境污染程度。

	产值u1	投资成本u2	销售额u3	国家收益比重u4	环境污染程度u5
${x_{1}}$	8350	5300	6135	0.82	0.17
${x_{2}}$	7455	4952	6527	0.65	0.13
${x_{3}}$	11000	8001	9008	0.59	0.15
${x_{4}}$	9624	5000	8892	0.74	0.28

现对数据进行归一化处理。
不同数据，不同归一算法。
$效益型： r_{ij}= \frac{a_{ij}}{max(a_{ij})} 或 r_{ij}= \frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$

$成本型： r_{ij}= \frac{min(a_{ij})}{a_{ij}} 或 r_{ij}= \frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}$

$固定型： r_{ij}= 1- \frac{a_{ij} - \alpha_{j}}{max(|a_{ij}-\alpha_{j}|)}(\alpha_{j} 为固定标准）$

$偏离型： r_{ij}= |a_{ij}-\beta_{j}| -\frac{min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}{max(|a_{ij}-\beta_{j}|)-min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}$

$区间型： r_{ij}= \left\{\begin{matrix} 1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}\right.$

$偏离区间型： r_{ij}= \left\{\begin{matrix} {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}} ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}] \end{matrix}\right.$
易知，投资成本u2和污染程度u5为成本型，其余为效益型，得到归一后数据

	产值u1	投资成本u2	销售额u3	国家收益比重u4	环境污染程度u5
${x_{1}}$	0.7455	0.9394	0.6811	1.0000	0.7647
${x_{2}}$	0.6777	1.0000	0.7246	0.7926	1.0000
${x_{3}}$	1.0000	0.6189	1.0000	0.7195	0.8667
${x_{4}}$	0.8749	0.9904	0.9871	0.9024	0.4643

• 计算属性权重
  和①一样，构造成对比较矩阵，然后计算权重向量。
  ${u_{1}到u_{5}权重为[0.4286, 0.1429, 0.1429, 0.1429, 0.1429]^T}$
• 信息集结
  采用加权算术平均算子（WAA），即数据乘以权重，然后相加得到评估分数。
  此外，还有其他集结信息的方式，比如加权几何平均(WGA)算子：有序加权平均(OWA)算子。

2.2 Latex公式源码

多属性决策主要源码和①层次分析法一样，关于归一化方法还要具体情况具体分析，很难设计出通用源码。因此Python源码可参考1.2, 下面提供一些Latex公式源码

$$
效益型：   r_{ij}= \frac{a_{ij}}{max(a_{ij})}  或  r_{ij}= \frac{a_{ij}-min(a_{ij})}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
成本型：   r_{ij}= \frac{min(a_{ij})}{a_{ij}}  或  r_{ij}= \frac{max(a_{ij})-a_{ij}}{max(a_{ij})-min(a_{ij})}
$$

$$
固定型：   r_{ij}= 1- \frac{a_{ij} - \alpha_{j}}{max(|a_{ij}-\alpha_{j}|)}(\alpha_{j} 为固定标准）
$$

$$
偏离型：   r_{ij}= |a_{ij}-\beta_{j}| -\frac{min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}{max(|a_{ij}-\beta_{j}|)-min(|a_{ij}-\beta_{j}|)}
$$

$$
区间型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
  1 - {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$

$$
偏离区间型：   r_{ij}= 
\left\{\begin{matrix}
 {\Large\frac{max(q_{1}^{j}-a_{ij}, a_{ij}-q_{2}^{j})}{max\left [q_{1}^{j}-min(a_{ij}), max(a_{ij})-q_{2}^{j} \right ]}}  ,a_{ij}\notin [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]\\ 
 1 ,a_{ij}\in [q_{1}^{j}, q_{2}^{j}]
\end{matrix}\right.
$$

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$\color{#f15642}{\large \mathbf{ 二}}$

模型	参考
图论-dijstra	①视频简介 ②算法实现
图论-Floyd	①视频简介

3 图论-dijstra

3.1 题目

• 找出v1到v11的最短路径(来源于参考视频)
  
• 构造带权邻接矩阵
  

3.2 Python源码

"""
修改最下面的带权邻接矩阵
输出0→n最短路径长度和步骤
"""
import numpy as np

Inf = np.Inf  # 无穷大
P = 1         # P标记
Q = 0         # Q标记


def dijkstra(matrix):
    m = np.array(matrix)  # 转化为矩阵
    n = m.shape[0]        # 获取矩阵阶数

    book = np.zeros(n)  # 记录P标记和Q标记
    book[0] = P         # 初始点标记P

    route = np.zeros_like(book)  # 记录路径

    # 循环（阶数-1）次
    for x in range(n - 1):
        min_m = Inf  # 距离初始点距离最小值

        for j in range(n):
            if book[j] == 0 and m[0][j] < min_m:
                min_m = m[0][j]  # 记录最近值
                u = j  # 记录最近点
        book[u] = P    # 将该点标记P

        for v in range(n):
            if m[u][v] < Inf:
                if m[0][v] > m[0][u] + m[u][v]:
                    # 如果（0→v）的距离大于（0→u→v），则松弛v
                    m[0][v] = m[0][u] + m[u][v]
                    route[x] = u  # 记录路径

    print("0到n的最短路径长度为：", m[0])  # 输出最短路径长路
    print("0到n的最短路径为：", route)    # 输出路径


"""
带权邻接矩阵
"""
k = [[0, 2, 8, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [2, 0, 6, Inf, 1, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [8, 6, 0, 7, 5, 1, 2, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [1, Inf, 7, 0, Inf, Inf, 9, Inf, Inf, Inf, Inf],
     [Inf, 1, 5, Inf, 0, 3, Inf, 2, 9, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 1, Inf, 3, 0, 4, Inf, 6, Inf, Inf],
     [Inf, Inf, 2, 9, Inf, 4, 0, Inf, 3, 1, Inf],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 2, Inf, Inf, 0, 7, Inf, 9],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 6, 3, 7, 0, 1, 2],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 1, Inf, 1, 0, 4],
     [Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, Inf, 9, 2, 4, 0]]

dijkstra(k)

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正在更新中……

4 图论-Floyd

4.1 题目

4.2 Python源码