這幾天在實現一篇多體非剛體重構以及分割的論文。利用ADMM迭代生成了對軌跡進行自我表達的一個仿射矩陣。論文中對這個仿射矩陣進行了一個譜聚類，對其各個特徵點進行了分類。主要用到的論文爲：《On Spectral Clustering: Analysis and an algorithm》。在這裏我對自己目前對譜聚類的學習做一個自我總結。
1. 譜聚類概述
譜聚類是從圖論中演化出來的算法，後來在聚類中得到了廣泛的應用。它的主要思想是把所有的數據看做空間中的點，這些點之間可以用邊連接起來。距離較遠的兩個點之間的邊權重值較低，而距離較近的兩個點之間的邊權重值較高，通過對所有數據點組成的圖進行切圖，讓切圖後不同的子圖間邊權重和儘可能的低，而子圖內的邊權重和儘可能的高，從而達到聚類的目的。
2. 譜聚類的算法流程
在上述的論文中，譜聚類的流程如下：
翻譯過來，可以作如下表達：
輸入：n個樣本點和聚類簇的數目k；
輸出：聚類簇
（1）使用下面公式計算的相似度矩陣A；
A爲Sij組成的相似度矩陣。我在做的那篇論文中，通過約束
，迭代求得C1，並將A = abs(C1) + abs(C1')
（2）使用下面公式計算矩陣D；
，即相似度矩陣A的每一行元素之和
D爲di組成的d * d對角矩陣。
(3) 求得矩陣L ，其中 L = D^(-1/2) * A * D^(-1/2)。
(4) 計算L的特徵值，將特徵值從大到小排序，取前k個特徵值，並計算前k個特徵值對應的特徵向量{X1,X2,X3,........Xk}∈R，R爲n✖️k。
(5) 將第四步得到的特徵向量組合成一個新的矩陣X，同時設Y矩陣，其中，Yi是X的第i行向量。
(6) 通過K-mean或者其他有效的聚類算法對新的矩陣
聚類爲：
(7) 最後，輸出
其中，
MATLAB代碼如下（因爲實現論文中的非剛體目前是兩個，所以我將K默認爲了2）
function [idx,result] = SC(A)
%第一步，建立一個D矩陣，是一個對角線矩陣。其中D（i，i）= A的第i行的總和。
D = zeros(size(A,1));
L = zeros(size(A,1));
for i = 1:size(A,1)
sum = 0;
for j = 1:size(A,1)
%給對角線矩陣D賦值
sum = sum + A(i,j);
end;
D(i,i) = sum;
end;
L = D^-(1/2)* A * D^-(1/2);
%求出前K個最大特徵值對應的特徵向量。該論文中都是對兩個數據進行分割，所以K=2
[X,Y] = eig(L);
Y = diag(Y);
[Y,I] = sort(Y,'descend');
x = X(:,I(1:2));
%計算一個Y矩陣
y = zeros(size(x));
for i = 1:size(x,1)
sum = 0;
for j = 1:size(x,2)
sum = sum + x(i,j)^2;
end;
sum = sum^(1/2);
for k = 1:size(x,2)
y(i,k) = x(i,k)/sum;
end;
end
%最後一步，K-means
[idx,c]=kmeans(y,2);
最後，通過SC，對論文中迭代求出的仿射矩陣進行了聚類，效果如下：
圖一：仿射矩陣的顯示： 圖二：對仿射矩陣進行SC後的顯示：
從圖一中，較爲明顯的看到兩個對角矩陣，進行SC後，可以很好的顯示這兩個非剛體運動的分割。