前言
字符串匹配算法簡單的有BF算法，RK算法，今天我們只談論RK算法。
BF 算法中的 BF 是 Brute Force 的縮寫，中文叫作暴力匹配算法，也叫樸素匹配算法。從名字可以看出，這種算法的字符串匹配方式很“暴力”，當然也就會比較簡單、好懂，但相應的性能也不高。
在討論RK算法前，定義兩個概念，方便我後面講解。它們分別是主串和模式串。
作爲最簡單、最暴力的字符串匹配算法，BF 算法的思想可以用一句話來概括，那就是，我們在主串中，檢查起始位置分別是 0、1、2…n-m 且長度爲 m 的 n-m+1 個子串，看有沒有跟模式串匹配的。
從上面的算法思想和例子，我們可以看出，在極端情況下，比如主串是“aaaaa…aaaaaa”（省略號表示有很多重複的字符 a），模式串是“aaaaab”。我們每次都比對 m 個字符，要比對 n-m+1 次，所以，這種算法的最壞情況時間複雜度是 O(nm)。
儘管理論上，BF 算法的時間複雜度很高，是 O(nm)，但在實際的開發中，它卻是一個比較常用的字符串匹配算法。
RK 算法
RK 算法的全稱叫 Rabin-Karp 算法，是由它的兩位發明者 Rabin 和 Karp 的名字來命名的。這個算法理解起來也不是很難。
BF 算法的時候講過，如果模式串長度爲 m，主串長度爲 n，那在主串中，就會有 n-m+1 個長度爲 m 的子串，我們只需要暴力地對比這 n-m+1 個子串與模式串，就可以找出主串與模式串匹配的子串。
但是，每次檢查主串與子串是否匹配，需要依次比對每個字符，所以 BF 算法的時間複雜度就比較高，是 O(n*m)。我們對樸素的字符串匹配算法稍加改造，引入哈希算法，時間複雜度立刻就會降低。
RK 算法的思路是這樣的：我們通過哈希算法對主串中的 n-m+1 個子串分別求哈希值，然後逐個與模式串的哈希值比較大小。如果某個子串的哈希值與模式串相等，那就說明對應的子串和模式串匹配了（這裏先不考慮哈希衝突的問題，後面我們會講到）。因爲哈希值是一個數字，數字之間比較是否相等是非常快速的，所以模式串和子串比較的效率就提高了。
不過，通過哈希算法計算子串的哈希值的時候，我們需要遍歷子串中的每個字符。儘管模式串與子串比較的效率提高了，但是，算法整體的效率並沒有提高。有沒有方法可以提高哈希算法計算子串哈希值的效率呢？
這就需要哈希算法設計的非常有技巧了。我們假設要匹配的字符串的字符集中只包含 K 個字符，我們可以用一個 K 進制數來表示一個子串，這個 K 進制數轉化成十進制數，作爲子串的哈希值。表述起來有點抽象，我舉了一個例子，看完應該就能懂了。
比如要處理的字符串只包含 a～z 這 26 個小寫字母，那我們就用二十六進制來表示一個字符串。我們把 a～z 這 26 個字符映射到 0～25 這 26 個數字，a 就表示 0，b 就表示 1，以此類推，z 表示 25。
在十進制的表示法中，一個數字的值是通過下面的方式計算出來的。對應到二十六進制，一個包含 a 到 z 這 26 個字符的字符串，計算哈希的時候，我們只需要把進位從 10 改成 26 就可以。
這個哈希算法你應該看懂了吧？現在，爲了方便解釋，在下面的講解中，我假設字符串中只包含 a～z 這 26 個小寫字符，我們用二十六進制來表示一個字符串，對應的哈希值就是二十六進制數轉化成十進制的結果。
這種哈希算法有一個特點，在主串中，相鄰兩個子串的哈希值的計算公式有一定關係。我這有個個例子，你先找一下規律，再來看我後面的講解。
從這裏例子中，我們很容易就能得出這樣的規律：相鄰兩個子串 s[i-1]和 s[i]（i 表示子串在主串中的起始位置，子串的長度都爲 m），對應的哈希值計算公式有交集，也就是說，我們可以使用 s[i-1]的哈希值很快的計算出 s[i]的哈希值。如果用公式表示的話，就是下面這個樣子：
不過，這裏有一個小細節需要注意，那就是 26^(m-1) 這部分的計算，我們可以通過查表的方法來提高效率。我們事先計算好 260、261、262……26(m-1)，並且存儲在一個長度爲 m 的數組中，公式中的“次方”就對應數組的下標。當我們需要計算 26 的 x 次方的時候，就可以從數組的下標爲 x 的位置取值，直接使用，省去了計算的時間。
我們開頭的時候提過，RK 算法的效率要比 BF 算法高，現在，我們就來分析一下，RK 算法的時間複雜度到底是多少呢？
整個 RK 算法包含兩部分，計算子串哈希值和模式串哈希值與子串哈希值之間的比較。第一部分，我們前面也分析了，可以通過設計特殊的哈希算法，只需要掃描一遍主串就能計算出所有子串的哈希值了，所以這部分的時間複雜度是 O(n)。
模式串哈希值與每個子串哈希值之間的比較的時間複雜度是 O(1)，總共需要比較 n-m+1 個子串的哈希值，所以，這部分的時間複雜度也是 O(n)。所以，RK 算法整體的時間複雜度就是 O(n)。
這裏還有一個問題就是，模式串很長，相應的主串中的子串也會很長，通過上面的哈希算法計算得到的哈希值就可能很大，如果超過了計算機中整型數據可以表示的範圍，那該如何解決呢？
剛剛我們設計的哈希算法是沒有散列衝突的，也就是說，一個字符串與一個二十六進制數一一對應，不同的字符串的哈希值肯定不一樣。因爲我們是基於進制來表示一個字符串的，你可以類比成十進制、十六進制來思考一下。實際上，我們爲了能將哈希值落在整型數據範圍內，可以犧牲一下，允許哈希衝突。這個時候哈希算法該如何設計呢？
哈希算法的設計方法有很多，我舉一個例子說明一下。假設字符串中只包含 a～z 這 26 個英文字母，那我們每個字母對應一個數字，比如 a 對應 1，b 對應 2，以此類推，z 對應 26。我們可以把字符串中每個字母對應的數字相加，最後得到的和作爲哈希值。這種哈希算法產生的哈希值的數據範圍就相對要小很多了。
不過，你也應該發現，這種哈希算法的哈希衝突概率也是挺高的。當然，我只是舉了一個最簡單的設計方法，還有很多更加優化的方法，比如將每一個字母從小到大對應一個素數，而不是 1，2，3……這樣的自然數，這樣衝突的概率就會降低一些。
那現在新的問題來了。之前我們只需要比較一下模式串和子串的哈希值，如果兩個值相等，那這個子串就一定可以匹配模式串。但是，當存在哈希衝突的時候，有可能存在這樣的情況，子串和模式串的哈希值雖然是相同的，但是兩者本身並不匹配。
實際上，解決方法很簡單。當我們發現一個子串的哈希值跟模式串的哈希值相等的時候，我們只需要再對比一下子串和模式串本身就好了。當然，如果子串的哈希值與模式串的哈希值不相等，那對應的子串和模式串肯定也是不匹配的，就不需要比對子串和模式串本身了。
所以，哈希算法的衝突概率要相對控制得低一些，如果存在大量衝突，就會導致 RK 算法的時間複雜度退化，效率下降。極端情況下，如果存在大量的衝突，每次都要再對比子串和模式串本身，那時間複雜度就會退化成 O(n*m)。但也不要太悲觀，一般情況下，衝突不會很多，RK 算法的效率還是比 BF 算法高的。