查找-之二叉排序树（查找、插入、删除）

问题：

有序的线性表采用：折半/二分、插值、斐波那契查找相比顺序查找效率得到提高，但是在插入和删除时效率低（为维持数据的有序性）

 在高效实现查找操作时，如何提高插入和删除的效率？

在一些应用场景：在查找时需要插入和删除

解决方法：

二叉排序树

二叉排序树特点

1）若左子树不为空，左子树上所有结点的值均小于或等于它的根节点的值

2）若右子树不为空，右子树上所有结点的值均大于或等于它的根节点的值

3）左右子树也分别为二叉排序树

 

二叉排序算法的复杂度：

时间复杂度：二分查找的思想，查找次数为二叉查找树的高度，若树为平衡二叉树则为O(logn),否则最坏的情况为右斜树O(n)

二叉排序算法的缺点是：

二叉树的构建类型多种，不同的二叉树形状会导致查找的性能差异很大，例如普通的二叉树和一棵右斜树。

 

 

二叉排序树的查找：

1）查找数据key，判断key是否等于树的根节点数据

2）若待查数据key小于根结点数据则递归的在左子树查找

3）若待查数据key大于根结点数据则递归的在右子树查找

 

C伪代码：

//定义结点结构
typedef struct BiTNode
{
   int data;  //结点数据
   struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree

/递归查找二叉排序树T中是否存在key
//f指向T的双亲 
//p获得查找到的结点位置
Status SearchBST(BiTree T,int key,BiTree f,BiTree *p)
{
   //查找不成功
    if(!T)//判断当前二叉树是否到叶子结点
     {
        *p=f;//指针p指向查找路径上访问的最后一个结点并返回false
        return False;
     }
   //查找成功
   else if(key==T->data)
    {
       *p=T;
      return True;
   }
  else if(key<T->data)//待查找元素小于结点数据
      return SearchBST(T->lchild，key，T，p);//在左子树继续查找
  else
      return SearchBST(T->rchild，key，T，p);//在右子树继续查找
}

二叉排序树的插入操作：

1）在二叉排序树找不到待插入的数据key则执行2）步骤

2）待插数据初始化为结点s，若树为空则直接赋值结点s给树

3）待插入数据key小于根结点数据则插入为左孩子

4)  待插入数据key大于根结点数据则插入为右孩子

 

//定义结点结构
typedef struct BiTNode
{
   int data;  //结点数据
   struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree

 

//二叉树的数据插入
Status InsertBST(BiTree *T,int key)
{
  BiTree p,s;//创建二叉树结点
  //在二叉排序树中找不到key
  if(!SearchBST(*T,key,NULL,&p))
    {
        //s结点的初始化
        s=(BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        s->data=key;
        s->lchild=s->rchild=NULL;
        //若p结点为空
        if(!p)
              *T=s;
        else if (key<p->data)//待插入的值key小于p结点指向的数据
              p->lchild=s;//s插入为左孩子
        else//待插入的值key大于p结点指向的数据
             p->rchild=s;//s插入为右孩子
       return True;
   }
//树中已有关键字相同的结点，不再插入
  else
     return False;

}

构建一棵二叉排序树示例： 

//生成一棵二叉树
int i;
int a[10]={62,88,58,47,35,73,51,99,37,93};
Bitree T=NULL;
for(i=0;i<10;i++）
{
    InsertBST(&T,a[i]);
}

二叉排序树的删除操作：

删除结点的三种情况：

1）删除叶子结点

2）删除的结点只有左或右子树的

3）删除的结点有左右子树

 

//定义结点结构
typedef struct BiTNode
{
   int data;  //结点数据
   struct BiTNode *lchild, *rchild;//左右孩子指针
}BiTNode,*BiTree

//删除元素等于key的数据结点
Status DeleteBST(BiTree *T,int key)
{
 //不存在关键字等于key的数据元素
   if(!*T)
       return False;
  else
  {
       if(key==(*T)->data)     //找到关键字等于key的数据元素
               return Delete(T);
       else if(key<(*T)->data)//待删除的元素key小于查找到的元素---则在结点的左子树搜索
              return DeleteBST(&(*T)->lchild,key);
       else                               //待删除的元素key大于查找到的元素---则在结点的右子树搜索
              return DeleteBST(&(*T)->rchild,key);
  }
}

Status Delete(BiTree *p)
{ 
     BiTree q,s;
    //第一种情况，删除结点只有左子树或右子树
     if((*p)->rchild==NULL)//只有左子树
      {  
            q=*p;
            *p=(*p)->lchild; 
            free(q);
      }  
    else if((*p)->lchild==NULL)//只有右子树
     {
          q=*p;
          *p=(*p)->rchild;
          free(q);
    }
  //第二种情况：删除的结点有左子树和右子树
  else
    {
      q=*p;//待删除的结点给临时变量q
      s=(*p)->lchild;//待删除结点指向的左子树给临时变量s
      while(s->rchild)//左子树s一直向右找，直到找到待删结点的前驱
         {
            q=s;
            s=s->rchild;
         }
    (*p)->data=s->data;//s指向被删结点的直接前驱，将它的值直接赋值给要删除的结点*p

    if(q!=*p)//被删结点的直接前驱p!=被删结点的直接前驱的根结点q
       q->rchild=s->lchild;//根结点q的右孩子指针指向被删结点的直接前驱的左孩子
    else
        q->lchild=s->lchild;
   free(s);
    } 

}

上述代码需注意：

1）q!=*p的情况：

2） q=*p的情况：

若上图的结构修改为：

没有结点37和36，s指向35。 

 p和q的指向相同都是47结点处，则将s->lchild指向的29赋值给q->lchild

 

后续：如何解决二叉排序树多次插入新结点而导致的不平衡？