C#尋找素數的算法

素數尋找問題由來已久,一直是一些數學家追求的目的。關於素數的定義及性質,我就不在這裏多敘了,相信大家都對此瞭如指掌。素數的尋找思路比較的簡單,根據素數的性質(素數應該不能被除了1和它自身的其他數整除)我們可以從最小的素數2開始,一直到比它小1的數爲止,用這些數去整除它,如果它能被整除則它必定不是素數,這是判斷單個素數的方法(這個算法思想最簡單,時間複雜度最大)。對於尋找比某一個給定的整數值小的所有素數也可以採用這種方法,不過我們會發現,採用這種單個判斷的方法所耗的時間比較多。比如查找不大於10的素數,我們必須從2開始一個個判斷,共需判斷9個數,事實上按照我們後面講述的方法,只需循環2次就可以了。因此,下面的兩種方法都將基於刪除法來做。

    我們來看看刪除法的思想:

    1.  將小於給定整數值n的所有正整數加到一個數組中;

    2.  刪除能夠被一些整數整除的數;

    3.  數組中遺留的元素就是最後要得到的素數序列。

    對於第二步,我們將給出兩種方法來實現。我們先來看看算法:

    算法一:

class prime

     {

         public static int[] PrimeList;

         public  static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              IntList=new int[n];             

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   int j=p+1;

                   while (j<=n)

                   {

                       if ((IntList[j-1]!=0 ) && ((IntList[j-1]% p)==0) ) IntList[j-1]=0;

                       j=j+1;

                   }

              }

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0) i=i+1;

              }

              PrimeList=new int[i];

              i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }

    這這個算法中,刪除的數是那些被從2開始直到n的平方根的整數整除的數。這個算法比起前面介紹的單個素數的尋找方法要好,它的循環次數減少了一多半,但是這個算法還不是最理想的:

    1.例如,6既能被2整除,也能被3整除,那麼當p=2時,6被刪掉了一次;當p=3時,6又被刪除了一次,雖然按照我們設定的算法規則,這不會導致衝突(通過判斷IntList數組元素是否爲0,若爲0就不必重複刪除),但是這會使得算法的效率低下。

    2.還有計算素數序列元素個數時,我們也走了彎路。第一步,我們先計算出了數組元素大小,第二步纔開始賦值,事實上這兩步我們可以減去計算數組大小這一步,可以把它放在前面完成。

    3.已經被刪除了的元素,也就是那些不是素數的元素,可以不用拿他們去整除整數,例如4不用拿去整除8,因爲能被4整除的數肯定能被2整除,已經在前面循環中被刪除了。
 

    基於上述考慮,我們得到了一個效率更加高的算法:

class primegood

     {

         public static int[] PrimeList;

         public static void FindPrime(int n)

         {

              int[] IntList;

              int len=n-1;

              IntList=new int[n];

              for (int p=2;p<=n;p++) IntList[p-1]=p;

              for (int p=2;p<Math.Sqrt(n);p++)

              {

                   if (IntList[p-1]==0) continue;

                   int j=p*p;

                   while (j<=n)

                   {

                       if (IntList[j-1]!=0 )

                       {

                            IntList[j-1]=0;

                            len=len-1;

                       }

                       j=j+p;

                   }

              }

              PrimeList=new int[len];

              int i=0;

              for (int p=2;p<=n;p++)

              {

                   if (IntList[p-1]!=0)

                   {

                       PrimeList[i]=IntList[p-1];

                       i=i+1;

                   }                 

              }

         }

     }

    這個算法思想和前面的算法完全一樣,不過改正了上面算法中不完善的一些內容。

    爲了說明這兩個算法的效率區別,我們編制瞭如下的主程序來比較一下他們的差異:

static void   Main()

         {

              Console.WriteLine("Start!");

              DateTime mytime5=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              /*for (int i=0;i<=primegood.PrimeList.Length-1;i++)

              {

                   Console.WriteLine(primegood.PrimeList[i]);

              }*/

              DateTime mytime6=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd3=mytime6-mytime5;

              Console.WriteLine(timeadd3.Ticks);

              DateTime mytime1=DateTime.Now;

              prime.FindPrime(100000);

              DateTime mytime2=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd=mytime2-mytime1;

              DateTime mytime3=DateTime.Now;

              primegood.FindPrime(100000);

              DateTime mytime4=DateTime.Now;

              TimeSpan timeadd2=mytime4-mytime3;

              Console.WriteLine(timeadd.Ticks);

              Console.WriteLine(timeadd2.Ticks);

         }

     }

    通過運行這個程序,可以發現他們的差別是如此的大(前面的算法所耗時間幾乎是後面算法的30-60倍),參見下圖:

    事實上,這兩個算法的時間複雜度近似爲:⊙(n1.5);⊙(n);可見,對於同一個問題有着多種不同複雜性的算法實現,算法設計是一門十分重要的學問。

 
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