AI筆記: 數學基礎之定積分的引例與定義

概述

• 積分學
  • 不定積分
  • 定積分

定積分舉例

1 ）矩形和梯形

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 矩形面積：$S = ah$
• 梯形面積：$S = \frac{h}{2}(a+b)$

2 ) 曲邊梯形的面積

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 設曲邊梯形是由連續曲線 $y = f(x) (f(x) \geq 0$ 及x軸，以及兩直線 $x=a, x=b$所圍成，求其面積A
• 解決步驟
  • (1) 大化小. 在區間[a,b]中任意插入n-1個分點$a=x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_{n-1} < x_n = b$, 用直線 $x=x_i$ 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形
  • (2) 常代變. 在第i個窄曲邊梯形上任取$\xi \in [x_{i-1}, x_i]$作以$[x_{i-1}, x_i]$爲底, $f(\xi)$爲高的小矩形，並以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積$\triangle A_i$, 得
    • $\triangle A_i \approx f(\xi_i) \triangle x_i (\triangle x_i = x_1 - x_{i-1}, i=1,2,...,n)$
  • (3) 近似和. $A = \sum_{i=1}^n \triangle A_i \approx \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$
  • (4) 取極限. 令 $\lambda = max_{1\leq i\leq n} \{ \triangle x_i \}$, 則曲邊梯形面積爲
    • $A = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \triangle A_i = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$

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3 ) 變速直線運動的路程

• 設某物體作直線運動，已知速度$v=v(t) \in C[T_1, T_2]$, 且 $v(t) \geq 0$, 求在運動時間內物體所經過的路程s
• 解決步驟
  • (1) 大化小. 在$[T_1, T_2]$中任意插入n-1個分點，將它分成n個小段$[t_{i-1}, t_i](i=1,2,...,n)$, 在每個小段上物體經過的路程爲: $\triangle s_i \ \ \ (i = 1,2,...,n)$
  • (2) 常代變. 任取$\xi_i \in [t_{i-1}, t_i]$, 以$v(\xi_i)$ 代替變速, 得 $\triangle s_i \approx v(\xi_i) \triangle t_i \ \ \ (i=1,2,...,n)$
  • (3) 近似和. $s \approx \sum_{i=1}^n v(\xi_i) \triangle t_i$
  • (4) 取極限. $s = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n v(\xi_i) \triangle t_i \ \ \ (\lambda = max_{1 \geq i \geq n} \triangle t_i)$

4 ) 總結

• 上述兩個問題的共性：
  • 解決問題的方法步驟相同：“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”
  • 所求量極限結構式相同：特殊乘積和式的極限

定積分定義

1 ) 概念

• 設函數f(x)定義在[a,b]上，若對[a,b]的任一種分法$a = x_0 < x_1 < x_2 < ... < x_n = b$
• 令$\triangle x_i = x_i - x_{i-1}$, 任取 $\xi_i \in [x_i, x_{i-1}]$
• 只要 $\lambda = max_{1 \leq i \leq n} \{ \triangle x_i \} \to 0$時，$\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$ 總趨於確定的極限I
• 則稱此極限I爲函數f(x)在區間[a,b]上的定積分，記爲：$\int_a^b f(x) dx$, 即：$\int_a^b f(x)dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i$
• 此時稱 f(x) 在[a,b]上可積
• 可以看到積分是微分的逆運算

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2 ） 各部分結構

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• 定積分僅與被積函數及積分區間有關, 而與積分變量用什麼字母表示無關，即 $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(t) dt = \int_a^b f(u) du$

3 ) 定積分的幾何意義

• $f(x) > 0, \int_a^b f(x) dx = A$ 曲邊梯形面積
• $f(x) < 0, \int_a^b f(x) dx = -A$ 曲邊梯形面積的負值

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• $\int_a^b f(x) dx = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + A_5$

4 ）可積的充分條件

• 定理1：函數f(x)在[a,b]上連續 $\Rightarrow$ f(x) 在[a,b]上可積.
• 定理2：函數f(x)在[a,b]上有界, 且只有有限個間斷點 $\Rightarrow$ f(x)在[a,b]上可積

5 ） 案例

例1：利用定義計算定積分 $\int_0^1 x^2 dx$

分析：

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• 將[0,1] n等分，分點爲：$x_i = \frac{i}{n} (i=0,1,...,n)$, 取$\xi_i = \frac{i}{n}, \triangle x_i = \frac{1}{n} \ \ \ (i=1,2,...,n)$
• 則 $f(\xi_i) \triangle x_i = \xi_i^2 \triangle x_i = \frac{i^2}{n^3}$
• $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 = \frac{1}{n^3} · \frac{1}{6} n(n+1)(2n+1) = \frac{1}{6}(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$
• 所以, $\int_0^1 x^2 dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n \xi^2 \triangle x_i = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{6}(1 + \frac{1}{n} )(2+\frac{1}{n}) = \frac{1}{3}$

註解：

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例2：用定積分表示下列極限

(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1 + \frac{i}{n}}$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^p + 2^p + ... + n^p}{n^{p+1}}$

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說明

• 設$f(x) \in C[a,b]$, 則 $\int_a^b f(x) dx$ 存在，根據定積分定義可得如下近似計算方法
• 將[a,b]分成n等份：$\triangle x = \frac{b-a}{n}, x_i = a + i·\triangle x \ \ \ (i = 0,1,...,n)$
• 記：$f(x_i) = y_i \ \ \ (i = 0, 1, ..., n)$
• (1) 左矩形公式: $\int_a^b f(x) dx \approx y_0 \triangle x + y_1 \triangle x + ... + y_{n-1} \triangle x = \frac{b-a}{n}(y_0 + y_1 + ... + y_{n-1})$
• (2) 右矩形公式: $\int_a^b f(x)dx \approx y_1 \triangle x + y_2 \triangle x + ... + y_n \triangle x = \frac{b-a}{n}(y_1 + y_2 + ... + y_n)$
• (3) 梯形公式: $\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} [y_{i-1} + y_i] \triangle x = \frac{b - a}{n} [\frac{1}{2}(y_0 + y_n) + (y_1 + ... + y_{n-1})]$
  • 梯形公式 = 左矩形公式+右矩形公式之和的一半
• 爲了提高精度，還可建立更好的求積公式，例如辛普森公式，復化求積公式等