伽羅瓦理論(1)
伽羅瓦理論(2)
伽羅瓦理論(3)
這部分開始利用前面的理論得到一些推論。
五次以上的一般多項式方程不是根式可解的
考慮特徵爲0的域F, n次的一般多項式爲
f(x)=xn−t1xn−1+⋯+(−1)ntn∈F(t1,⋯,tn)[x]
當n≥5時,方程f(x)=0的解不能全部用域F(t1,⋯,tn)上的有限根式表達出來。原因在於此時對稱羣Sn不可解。
下面我們說明伽羅瓦羣G=Gal(F(x1,⋯,xn)/F(t1,⋯,tn))同構於對稱羣Sn.首先,此擴張是Galois擴張。其次,根據超越擴域的超越維數,知道F[x1,⋯,xn]與n變元的多項式環同構,於是Sn與x1,⋯,xn之間的置換羣同構,在同構意義下,可以認爲Sn⊂G。根據Galois對應,我們只需要說明F(x1,⋯,xn)Sn=F(t1,⋯,tn)。
對於任何有理分式f=g/h∈F(x1,⋯,xn),如果σ(f)=f,∀σ∈Sn. 變形得f=g∏τ=idτ(h)/∏ττ(h):=p/q,則q爲對稱多項式,上下同時用σ作用,得到σ(f)=σ(p)/q=f,於是σ(p)=p,從而f是兩個對稱多項式的商。因爲任何對稱多項式都在F[t1,⋯,tn]中,因此,f∈F(t1,⋯,tn)。
由此,因爲交錯羣An⊂Sn是非交換單羣(參考Milne的羣論講義COROLLARY 4.37 ),於是也就必定不可解,所以Sn也不可解,從而五次以上的一般多項式方程不是根式可解的。