伽羅瓦理論(4)

伽羅瓦理論(1)
伽羅瓦理論(2)
伽羅瓦理論(3)
這部分開始利用前面的理論得到一些推論。

五次以上的一般多項式方程不是根式可解的

考慮特徵爲0的域FF, nn次的一般多項式爲
f(x)=xnt1xn1++(1)ntnF(t1,,tn)[x]f(x)=x^n-t_1x^{n-1}+\cdots+(-1)^nt_n\in F(t_1,\cdots, t_n)[x]

n5n\geq 5時,方程f(x)=0f(x)=0的解不能全部用域F(t1,,tn)F(t_1,\cdots,t_n)上的有限根式表達出來。原因在於此時對稱羣SnS_n不可解。

下面我們說明伽羅瓦羣G=Gal(F(x1,,xn)/F(t1,,tn))G=Gal(F(x_1,\cdots,x_n)/F(t_1,\cdots,t_n))同構於對稱羣Sn.S_n.首先,此擴張是Galois擴張。其次,根據超越擴域的超越維數,知道F[x1,,xn]F[x_1,\cdots,x_n]nn變元的多項式環同構,於是SnS_nx1,,xnx_1,\cdots,x_n之間的置換羣同構,在同構意義下,可以認爲SnGS_n\subset G。根據Galois對應,我們只需要說明F(x1,,xn)Sn=F(t1,,tn)F(x_1,\cdots,x_n)^{S_n}=F(t_1,\cdots,t_n)

對於任何有理分式f=g/hF(x1,,xn)f=g/h\in F(x_1,\cdots,x_n),如果σ(f)=f,σSn\sigma(f)=f,\forall \sigma\in S_n. 變形得f=gτidτ(h)/ττ(h):=p/qf=g\prod_{\tau\neq id}\tau(h)/\prod_\tau \tau(h):=p/q,則qq爲對稱多項式,上下同時用σ\sigma作用,得到σ(f)=σ(p)/q=f\sigma(f)=\sigma(p)/q=f,於是σ(p)=p\sigma(p)=p,從而ff是兩個對稱多項式的商。因爲任何對稱多項式都在F[t1,,tn]F[t_1,\cdots,t_n]中,因此,fF(t1,,tn)f\in F(t_1,\cdots,t_n)

由此,因爲交錯羣AnSnA_n\subset S_n是非交換單羣(參考Milne的羣論講義COROLLARY 4.37 ),於是也就必定不可解,所以SnS_n也不可解,從而五次以上的一般多項式方程不是根式可解的。

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