AI筆記: 數學基礎之定積分的性質

定積分的性質

設所列定積分都存在
(1) $\int_a^b f(x) dx = - \int_b^a f(x) dx \Rightarrow \int_a^a f(x)dx = 0$

(2) $\int_a^b dx = b - a$

(3) $\int_a^b k f(x) dx = k \int_a^b f(x) dx$ (k爲常數)

(4) $\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x) dx \pm \int_a^b g(x)dx$

• 證明：左邊 = $\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n [f(\xi_i) \pm g(\xi_i)] \triangle x_i = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i \pm \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n g(\xi_i) \triangle x_i =$ 右邊

(5) $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x) dx$

備註：圖片託管於github，請確保網絡的可訪問性

• 證明：當a < c < b 時，因f(x)在[a,b]上可積，所以在分割區間時，可以永遠取c爲分點
• 於是 $\sum_{[a,b]} f(\xi_i) \triangle x_i = \sum_{[a,c]} f(\xi_i) \triangle x_i + \sum_{[c,b]} f(\xi_i) \triangle x_i$
• 令 $\lambda \to 0 \Rightarrow \int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x) dx$
• 當a,b,c的相對位置任意時，例如：a < b < c, 則有

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• 因爲, $\int_a^c f(x) dx = \int_a^b f(x)dx + \int_b^c f(x)dx$
• 所以, $\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx - \int_b^c f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx$

(6) 若在[a,b]上$f(x) \geq 0, 則 \int_a^b f(x) dx \geq 0$

• 證明：因爲 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i \geq 0$
• 所以, $\int_a^b f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \triangle x_i \geq 0$
• 推論1: 若在[a,b]上 $f(x) \leq g(x)$, 則 $\int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b g(x)dx$
• 推論2: $|\int_a^b f(x)dx| \leq \int_a^b |f(x)|dx \ \ \ (a < b)$
  • 證明：因爲 $-|f(x)| \leq f(x) \leq |f(x)|$
  • 所以, $- \int_a^b |f(x)| dx \leq \int_a^b f(x) dx \leq \int_a^b |f(x)| dx$
  • 即：$|\int_a^b f(x) dx| \leq \int_a^b |f(x)|dx$

(7) 設$M = max_{[a,b]} f(x), m = min_{[a,b]} f(x)$, 則 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) dx \leq M(b-a) \ \ \ (a < b)$

• 例：試證 $1 \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sinx}{x} dx \leq \frac{\pi}{2}$
  • 證明：設$f(x) = \frac{sin x}{x}$, 則在$(0, \frac{\pi}{2})$上，有
  • $f'(x) = \frac{xcosx - sinx}{x^2} = \frac{cos x}{x^2} (x-tanx) < 0$
  • 所以, $f(\frac{\pi}{2}^-) < f(x) < f(0^+)$
  • 即：$\frac{2}{\pi} < f(x) < 1, x \in (0, \frac{\pi}{2})$
  • 故：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{2}{\pi} dx \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}} 1 dx$
  • 即：$1 \leq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{sin x}{x} dx \leq \frac{\pi}{2}$

(8) 積分中值定理

• 若$f(x) \in C[a,b]$, 則至少存在一點 $\xi \in [a,b]$, 使$\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b - a)$
• 證明
  • 設f(x)在[a,b]上的最小值與最大值分別爲m,M, 則由性質7可得 $m \leq \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x)dx \leq M$
  • 根據閉區間上連續函數介值定理，在[a,b]上至少存在一點$\xi \in [a,b]$, 使得 $f(\xi) = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x)dx$
  • 因此定理成立
• 說明
  • 積分中值定理對 a < b 或 a > b都成立
  • 可把$\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a} = f(\xi)$ 理解爲f(x)在[a,b]上的平均值.
  • 因$\frac{\int_a^b f(x)dx}{b-a} = \frac{1}{b-a} \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \frac{b-a}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)$
  • 故它是有限個數的平均值概念的推廣

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• 例：計算從0秒到T秒這段時間內自由落體的平均速度
• 分析
  • 已知自由落體速度爲：$v=gt$ , 故所求平均速度爲:
  • $\bar{v} = \frac{1}{T-0} \int_0^T gt dt = \frac{1}{T} · \frac{1}{2} gT^2 = \frac{gT}{2}$

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