AI筆記: 數學基礎之方向導數的計算和梯度

方向導數

定理

• 若函數f(x,y,z)在點P(x,y,z)處可微，沿任意方向l的方向導數
• $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma$
• 其中$\alpha, \beta, \gamma$ 爲l的方向角
• 證明
  • 由函數$f(x,y,z)$在點P可微
  • $\triangle f = \frac{\partial f}{\partial x} \triangle x + \frac{\partial f}{\partial y} \triangle y + \frac{\partial f}{\partial z} \triangle z + o(\rho)$
  • $= \rho(\frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma) + o(\rho)$
  • $\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{\triangle f}{\rho} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma$

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• 對於二元函數f(x,y)在點P(x,y)處沿着方向l(方向角爲$\alpha, \beta$)的方向導數爲
• $\frac{\partial f}{\partial l} = \lim_{\rho \to 0} \frac{f(x+\triangle x, y + \triangle y) - f(x,y)}{\rho} = f_x'(x,y)cos \alpha + f_y'(x,y) cos \beta$
  • $\rho = \sqrt{(\triangle x)^2 + (\triangle y)^2}$
  • $\triangle x = \rho cos \alpha$
  • $\triangle y = \rho cos \beta$
• 特別地
  • l與x軸同向($\alpha = 0, \beta = \frac{\pi}{2}$)時，有$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x}$
  • l與x軸反向($\alpha = \pi, \beta = \frac{\pi}{2}$)時，有$\frac{\partial f}{\partial l} = -\frac{\partial f}{\partial x}$

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方向導數

• 方向導數(directional derivative): 有時不僅僅需要知道函數在座標軸上的變化率(即偏導數)，還需要設法求得函數在其他特定方向上的變化率；
• 而方向導數就是函數在其他特定方向上的變化率。
• 如果函數$z=f(x,y)$在點P(x,y)是可微分的，那麼，函數在該點沿着任意方向L的方向導數都存在
• 且計算公式爲：$\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta$

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例1

• 求函數$u = x^2yz$ 在點P(1,1,1)沿向量 $\vec{l} = (2, -1, 3)$的方向導數.
• $\frac{\partial u}{\partial l} = \frac{\partial u}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial u}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial u}{\partial z} cos \gamma$
• 解
  • 向量$\vec{l}$的方向餘弦爲: $cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{14}}, \cos \beta = \frac{-1}{\sqrt{14}}, cos \gamma = \frac{3}{\sqrt{14}}$
  • $\left. \frac{\partial u}{\partial l} \right|_P = \left. (2xyz * \frac{2}{\sqrt{14}}) - x^2z * \frac{1}{\sqrt{14}} + x^2y * \frac{3}{\sqrt{14}} \right|_{(1,1,1)} = \frac{6}{\sqrt{14}}$

例2

• 求函數$z=xe^{2y}$在點P(1,0)處沿從點P(1,0)到點Q(2, -1)的方向的方向導數
• 解
  • 方向l即向量$PQ = (1, -1)$的方向，與l同方向的單位向量$e_l = (\frac{1}{\sqrt{2}}, - \frac{1}{\sqrt{2}}). = (cos \alpha, cos \beta)$
  • 因函數可微，且$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1,0)} = \left. e^{2y} \right|_{(1,0)} = 1, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1,0)} = \left. 2xe^{2y} \right|_{(1,0)} = 2$
  • 所以，所求方向導數爲：$\left. \frac{\partial z}{\partial l} \right|_{(1,0)} = 1 * \frac{1}{\sqrt{2}} + 2 * (- \frac{1}{\sqrt{2}}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

例3

• 求$f(x,y,z) = xy + yz + zx$ 在點(1,1,2)沿方向l的方向導數，其中l的方向角分別爲：60°, 45°, 60°
• 解：
  • 與l同方向的單位向量 $e_l = (cos 60°, cos 45°, cos 60°) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2})$
  • 因函數可微，且
    • $f_x'(1,1,2) = (y + z)|_{(1,1,2)} = 3$
    • $f_y'(1,1,2) = (x + z)|_{(1,1,2)} = 3$
    • $f_z'(1,1,2) = (y + x)|_{(1,1,2)} = 2$
  • 所以$\frac{\partial f}{\partial l} |_{(1,1,2)} = 3*\frac{1}{2} + 3*\frac{\sqrt{2}}{2} + 2*\frac{1}{2} = \frac{1}{2}(5 + 3\sqrt{2})$

梯度

1 ） 概念

• 在空間的每一個點都可以確定無限多個方向，因此，一個多元函數在某個點也必然有無限多個方向導數.
• 在這無限多個方向導數中，最大的一個(它直接反映了函數在這個點的變化率的數量級)等於多少? 它是沿什麼方向達到的?
• 描述這個最大方向導數及其所沿方向的矢量，就是我們所討論的梯度.
• 梯度是場論裏的一個基本概念.所謂"場", 它表示空間區域上某種物理量的一種分佈
• 從數學上看，這種分佈常常表示爲 $\Omega$ 上的一種數值函數或向量函數
• 能表示爲數值函數u=u(x,y,z)的場，稱爲數量場，如溫度場、密度場等

2 ) 方向導數公式

• $\frac{\partial f}{\partial l} = \frac{\partial f}{\partial x} cos \alpha + \frac{\partial f}{\partial y} cos \beta + \frac{\partial f}{\partial z} cos \gamma$
  • 令向量 $\vec{G} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z})$
  • $\vec{l°} = (cos \alpha, cos \beta, cos \gamma)$
• $\frac{\partial f}{\partial l} = \vec{G}·\vec{l°} = |\vec{G}|cos(\vec{G}, \vec{l°}) \ \ \ (|\vec{l°}| = 1)$
• 當$\vec{l°}$與$\vec{G}$方向一致時，方向導數取最大值：$max(\frac{\partial f}{\partial l}) = |\vec{G}|$
• 可見：$\vec{G}$
  • 方向：f 變化率最大的方向
  • 模：f 的最大變化率之值

3 ) 梯度定義

• 向量$\vec{G}$：稱爲函數$f(P)$在點P處的梯度(gradient), 記做：grad f
• 即 $grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$
• 同樣可定義二元函數f(x,y)在點P(x,y)處的梯度 $grad \ f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y})$
• 說明：函數的方向導數爲梯度在該方向上的投影
• $\nabla = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y})$, 引用記號，稱爲奈布拉(Nebla)算符，或稱爲向量微分算子或哈密頓(W.R.Hamilton)算子
• 則梯度可記爲：$grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) \nabla f$
  • 函數f沿梯度grad f方向，增加最快(上升)
  • 函數f沿負梯度 -grad f方向，減小最快(下降)
• $grad \ f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0)j)$
  • 或 $\nabla f(x_0, y_0) = f_x'(x_0, y_0)i + f_y'(x_0, y_0) j = {f_x'(x_0, y_0), f_y'(x_0, y_0)}$
• $grad \ f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k}$
  • 或 $\nabla f(x_0, y_0, z_0) = \{f_x'(x_0, y_0, z_0), f_y'(x_0, y_0, z_0), f_z'(x_0, y_0, z_0)\} = f_x'(x_0, y_0, z_0)i + f_y'(x_0, y_0, z_0)j + f_z'(x_0, y_0, z_0)k$

說明

• 以三元函數爲例，設$u=f(x,y,z)$在點P(x,y,z)處可微分，則函數在該點的梯度爲 $grad \ f = \nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\vec{k} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = (\frac{\partial (f)}{\partial(x,y,z)})$
• 梯度是函數$u=f(x,y,z)$在點P處取得的最大方向導數的方向，最大方向導數爲：$|grad \ f| = \sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x})^2 + (\frac{\partial f}{\partial y})^2 + (\frac{\partial f}{\partial z})^2}$
• 函數$u=f(x,y,z)$在點P處沿方向$\vec{l}$的方向導數：$\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} = grad \ f·\vec{l°} = \nabla f · \vec{l °}$

例1

• 求$grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
• 解：
  • 這裏$f(x,y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$
  • 因 $\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2}, \frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2}$
  • 所以，$grad \ \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} = - \frac{2x}{(x^2 + y^2)^2} \vec{i} - \frac{2y}{(x^2 + y^2)^2} \vec{j}$

例2

• 設$f(x,y,z) = x^3 - xy^2 - z$, $p(1,1,0)$.
• 問f(x,y,z)在p處沿什麼方向變化最快，在這方向的變化率是多少?
• 解
  • $\nabla f = f_x'i + f_y'j + f_z'k = (3x^2 - y^2)i - 2xyj - k$
  • $\nabla f(1,1,0) = 2i - 2j - k$
  • 沿 $\nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(上升)
  • 沿 $- \nabla f(1,1,0)$ 方向，增加最快(下降)
  • $max\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = |grad \ f| = |\nabla f(1,1,0)| = 3$
  • $min\{\frac{\partial f}{\partial l} |_p\} = -|grad \ f| = -|\nabla f(1,1,0)| = -3$