數學建模之傳染病SIR模型（新冠真實數據）

傳染病模型的基本問題

• 描述傳染病的傳播過程
• 分析受感染人數的變化規律
• 預報傳染病高潮到來的時刻
• 預防傳染病蔓延的手段
• 按照傳播過程的一般規律用機理分析方法建立模型

注：我們這裏是介紹數學醫學領域中基本的傳染病模型。不從醫學角度分析各種傳染病的特殊機理，按照傳播過程的規律建立微分方程模型.

建立模型

模型一

假設：

1. 設已知感染人數爲$i(t)$(病人數量隨時間變化)
2. 設每個病人（單位時間）每天有效接觸（足以使人治病）人數爲$\lambda$

模型：
單位時間$\Delta{t}$內，$新增的人數（現有-原有）=原有的 \times \lambda$，即

$i(t+\Delta{t})-i(t)=\lambda i(t)\Delta{t}$
一開始的感染人數爲$i_0$
$i(0)=i_0$
解微分方程可以得到
$i(t)=i_0e^{\lambda t}$
所以可以可到當$\lambda \rightarrow \infin$時$i(t) \rightarrow \infin$
當然這是不可能的，因爲我們考慮的因素太少了，首先一個是，若有效接觸的是病人，則不能使病人數增加，所以必須區分已感染者(病人)和未感染者(健康人)看模型二來解決這個問題

模型二

假設：

1. 將人羣分爲兩類：易感染者(Susceptible,健康人)和已感染者(Infective, 病人).
2. 總人數N不變，時刻t健康人和病人所佔比例分別爲$s(t)$和$i(t)$, 有$s(t)+i(t)=1$
3. 每個病人每天有效接觸人數爲$\lambda$(日接觸率),且使接觸的健康人致病.

建模：
每天新增的總人數爲原有的人數乘以每個人可以傳染的健康的人數，再乘$\Delta t$

$\Delta t$除過去，兩遍N約分得到下面，

MATLAB解一下這個微分方程

y=dsolve('Dy=n*y*(1-y)','t');

y =
 -1/(exp(C1 - n*t) - 1)
                      0
                      1

寫規範點就是這個函數

函數圖像大致爲

可以看出$t=t_m$時這裏圖像的斜率有個最大值，其也就是傳染的最快的時候，即傳染病的高潮時刻，當然$t_m$是可以求出來的

再看原式，當$t\rightarrow \infin$時$i\rightarrow 1$
病人的比例爲1，當然這也是不可能的，因爲我們還沒有考慮有沒有可能治癒，看模型三

模型三

假設：

1. 傳染病無免疫性如傷風、痢疾等——病人治癒成爲健康人，健康人可再次被感染。
2. 病人每天治癒的比例爲$\mu$ (日治癒率)，$\frac{1}{\mu}$爲感染期，

模型
這是減去了治癒人數之後的新增人數


$\sigma$ 爲一個感染期內每個病人的有效接觸人數，稱爲接觸數

可以畫出上面的圖形分析下

對上面的公式進行分析，可以得到，當$i=1-\frac{1}{\sigma}$時，$i$對t的導數爲0這也就到了$i$的最大值；當$0<i<1-\frac{1}{\sigma}$時，$di/dt<0$，i單調遞增，且在$di/dt$最大時，i的斜率最大，增速最快；當$i>1-\frac{1}{\sigma}$，$di/dt<0$，i是單調遞減的。

---

當然我們也可以畫出$i$隨t的函數圖像

先看紅線，若初始條件$i_0>1-\frac{1}{\sigma}$$di/dt<0$，i就是單調遞減的，
若若初始條件$i_0<1-\frac{1}{\sigma}$，i就是遞增的，可以看到i對t的導數圖像有一個最大值，下面的黑線就有一個增加速率最快的一個值，按S形曲線增長

---

$\sigma =<1$時$di/dt<0$ i肯定是單調下降的，最終降到0

---

綜上：
想讓患病者越來越少，$\sigma$必須小於等於1，即感染期內有效接觸使健康者感染的人數不超過原有的病人數.

這裏我們分析的是感染之後還能感染的情況，但有些病毒感染之後會在體內生成抗體，就不會再被感染了，下面我們分析這種情況。

模型四 SIR模型

SIR模型是常見的一種描述傳染病傳播的數學模型，其基本假設是將人羣分爲以下三類：

1 易感人羣（Susceptible）：指未得病者，但缺乏免疫能力，與感病者接觸後容易受到感染。

2 感染人羣（Infective）：指染上傳染病的人，他可以傳播給易感人羣。

3 移除人羣（Removed）：被移出系統的人。因病癒（具有免疫力）或死亡的人。這部分人不再參與感染和被感染過程。

假設：

1. 傳染病有免疫性如天花、麻疹等——病人治癒後移出感染系統，稱移出者(Removed).
2. 總人數N不變，健康人、病人和移出者的比例分別爲$s(t), i(t), r(t)$.
3. 病人的日接觸率爲$\lambda$ , 日治癒率爲$\mu$, 接觸數 $\sigma=\frac{\lambda}{\mu}$

建模：
$s(t)+ i(t)+ r(t)=1$
這個就是病人減去治癒的人，和上一個模型是一樣的

因爲有治癒後是有免疫性的，所以可能被感染的總人數要減少，減去移除者就是

將上式化簡爲：

$i_0+s_0\approx 1$(通常$r(0)=r_0$很小)

關於i(t) , s(t) 的非線性微分方程組，沒有解析解，只能通過數值計算得到s(t), i(t), r(t)的曲線，下面來看下曲線的數值解的MATLAB程序

這裏我們先設$\lambda =1, \mu=0.5, i_0=0.01,s_0=0.99$
也就是平均一個病人人傳染一個正常人，治癒率爲0.5；開始的病人比例爲0.01，正常人爲0.99，設沒有天生帶有病毒抗體的人，所以$r_0=0$，之後若果病人被治癒，則具有抗體了，有抗體的人爲:$r=1-i-s$

ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
r=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r),grid
legend('i(t)','s(t)','r(t)')

function y=ill( t,x)
a=1;
b=0.5;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

可以看出：s(t)單調減,r(t)單調增,都趨於穩定, i(t)先增後減趨於0.
結果分析
先回顧一下參數
$接觸率 \lambda；治癒率 \mu ； 1/ \mu~平均傳染期 (病人治癒所需平均時間)；\sigma =\lambda/\mu~接觸數 (感染期內每個病人有效接觸人數)$
可以分析出：

• 隨着衛生健康思想水平高，接觸率$\lambda$變小
• 隨着醫療水平的提高，治癒率$\mu$增大
• 接觸數$\sigma =\lambda/\mu$減小——有助於控制傳播.

我們可以試試稍微減少一下$\lambda$，增大$\mu$，來看下效果

ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0);
r=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r),grid
legend('i(t)','s(t)','r(t)')

function y=ill( t,x)
a=0.8;
b=0.6;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)];

綜上我們可以得出結論：想要減少傳染病的傳播，我們就要在接觸數$\sigma$上下功夫。

實戰建模

數據處理

首先，我用python爬蟲爬取了丁香醫生官方數據，一共5534條數據 特徵包括感染、死亡、治癒的總數，當日感染、死亡、治癒新增，疑似病例，時間，省份等14個特徵

然後用python進行數據提取，提取了較爲典型的湖北省的數據作爲我的參考依據

然後用python對數據進行清洗，提取出了患病總數，現存患者總數，死亡總數，治癒總數，時間，省份這幾個特徵

對日期格式進行修改，值保留月和日，並與死亡人數的位置交換

這裏我用python對提取的四個特徵分別進行了數據分析（主要包括計算最值，平均值等，），並把1.20日作爲第一天，7.02日作爲最後一天也就是第165天，做了可視化可視化處理。
感染人數示意圖

治癒人數示意圖

現存患者數量圖

死亡人數示意圖

經過上面的圖片與describe數據分析，我們發現有一天是異常的，患者多出了平時的十倍左右，經過查閱資料，這天因加強了檢測標準，所以增多了很多。爲了避免這個數據的影響我們選擇將這一天刪去（或者用平均數或中位數代替也可）
將上面清理過的數據存放到csv文件中

模型建立
模型假設
經過上面數據的分析，我們大體可以進行如下假設：
1.由於不存在封閉情況，考慮開放體系。
2.目前數據以天爲單位發佈，因此不考慮連續變化情況，只考慮離散的方程。
3.新型冠狀病毒的治癒人數和死亡人數相對較 小，因此只考慮 Susceptible(易感)和 Infected(感染) 兩類人羣。設易感人羣總數爲N
4.經專家鑑定新冠病毒患者治癒後至少六個月之內不會再被感染，所以設治癒後移出易感人羣。
5.設每個病人每天有效接觸人數爲 $\lambda$(日接觸率)，且使接觸的健康人致病.
6.設病人每天治癒的比例爲 $\mu$(日治癒率)
7.時刻t健康人、病人和移出者的數量分別爲 s(t), i(t), r(t).

模型一

分析可以得到移出者r(t)=治癒人數+死亡人數
通過python數據處理，我們算出了r(t)的值，並將其可視化

我用MATLAB對其進行了擬合，擬合圖像爲

分析可以得到患者 i(t)=患病總數-移出者
可以通過csv文件的currentConfirmedCount 直接獲得i(t)數據，當然也可以通過 i(t)=confirmedCountv - r(t)獲得，對此我也做了可視化展示

通過MATLAB程序對其進行擬合，可以得到r(t)的函數圖像大致爲

爲了方便，利於公式推導，我們先設時刻t健康人、病人和移出者的數量分別爲 s(t), i(t), r(t). 所以有

可以推導出每日新增病例的表達式

由以上兩個公式可以推導出以下兩個微分方程

可以知道初值
$i(0)=i_0.s(0)=s_0$
因爲一開始治癒的和死亡的肯定很少，所以r0可以看爲0，於是就有：
$i_0+s_0=1$
通過解以上微分方程我們可以根據經驗假設$\lambda$ (日接觸率)和 $\mu$(日治癒率)的值分別爲1和0.5（也就是每個患者可能使1個正常人患病，患者可能有0.5的概率被治癒）；由於一開始患者肯定比正常人少很多，所以我們設i0=0.01,s0=0.99。對其求解可以得到s(t), i(t), r(t)，的變化圖像

MATLAB程序如下
ts=0:40;
x0=[0.01, 0.99];
[t,x]=ode45(‘ill’,ts,x0);
r=1-x(:,1)-x(:,2);
plot(t,x(:,1),t,x(:,2),ts,r,ts,x(:,1)/x(:,2))
legend(‘i(t)’,‘s(t)’,‘r(t)’)

function y=ill( t,x)
a=1;
b=0.5;
y=[ax(1)x(2)-bx(1);-ax(1)*x(2)];

結果分析：患病人數肯定有個高潮，但之後高潮就會減弱，並逐步降低爲0。隨着醫療衛生條件的不斷提升，患者的 $\lambda$(日接觸率)肯定降低，$\mu$ (日治癒率)肯定上升，所以我們可以把$\lambda$調一點爲0.8，$\mu$調高一點爲0.6，可以得到以下趨勢圖。所以應對傳染病很關鍵的一點是我們要提高醫療衛生條件


模型二

實際上，$\lambda$ (日接觸率)和 $\mu$(日治癒率)都是隨着時間變化的，這裏我們設s(t), i(t), r(t) 爲第t天健康人、病人、移除者(病癒與死亡之和)的數量， s(t)+ i(t)+r(t)=N.．
(t), (t) ~第t天感染率, 移除率(治癒率與死亡率之和)
有 $di/dt=\lambda (t)s(t)i(t) - (t)i(t)$
因爲s遠大於i, r，s(t)視爲常數，所以有

取差分近似導數

我們可以先用真實數據對(t)進行展示並進行擬合

當然同樣的方法對(t)進行擬合

做不出來了，好難，光這些東西就弄了四天，到了數學建模國賽得多難多累啊，哎，讓我這個小白手足無措。畢竟還沒有正規的培訓，這個模型等期末考完試一定好好做做！！！
衝國獎
衝國獎
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