【計數 dp】A000_LC_表示數字的最少運算符（記憶化（有一部分待證明)）

一、Problem

給定一個正整數 x，我們將會寫出一個形如 x (op1) x (op2) x (op3) x … 的表達式，其中每個運算符 op1，op2，… 可以是加、減、乘、除（+，-，*，或是 /）之一。例如，對於 x = 3，我們可以寫出表達式 3 * 3 / 3 + 3 - 3，該式的值爲 3

在寫這樣的表達式時，我們需要遵守下面的慣例：

1. 除運算符（/）返回有理數。
2. 任何地方都沒有括號。
3. 我們使用通常的操作順序：乘法和除法發生在加法和減法之前。
4. 不允許使用一元否定運算符（-）。例如，“x - x” 是一個有效的表達式，因爲它只使用減法，但是 “-x + x” 不是，因爲它使用了否定運算符。

我們希望編寫一個能使表達式等於給定的目標值 target 且運算符最少的表達式。返回所用運算符的最少數量。

輸入：x = 3, target = 19
輸出：5
解釋：3 * 3 + 3 * 3 + 3 / 3 。表達式包含 5 個運算符。

提示：

2 <= x <= 100
1 <= target <= 2 * 10^8

二、Solution

方法一：記憶化搜索

思路

答案一定有解：因爲我們可以使用 target 個 x/x 相加：x/x + x/x + … + x/x，一個比較聰明的方案是先利用乘法 × 快速地將數值接近 target，然後就是討論邊界啦：

• s = tar，返回結果
• s > tar，明顯需要用減法將 s 遞減，s -= x/x + … + x/x
• s < tar，s += x/x + x/x + … x/x 或者 s += x - (x/x + … + x/x)

接下來就是定義記憶化搜索的狀態了：

• 定義狀態：
  • $f[cur]$：即 dfs(cur) 表示湊夠數值 cur 所需要的最少運算符
• 思考初始化：
  • $f[0:target] = 0$
• 思考狀態轉移方程：
  • $f[i]$，根據上面的情況寫代碼即可
• 思考輸出：$f[0]$ 因是記憶化搜索是自底向上的

class Solution {
public:
    unordered_map<long, long> f;
	long dfs(int x, int re) {
		if (re < x)  	return min(2*re-1, 2*(x-re)); //剩下的re比x還要小，那麼直接用re個x/x或者用x減去(x-re)個 x/x
		if (re == 0) 	return 0;
		if (f[re] != 0) return f[re];

		long p = log(re)/log(x), sum = pow(x, p), t = sum * x - re;
		long ans = dfs(x, re - sum) + p;
		if (t < re)
			ans = min(ans, p+1 + dfs(x, t));
		return f[re] = ans;
	}
    int leastOpsExpressTarget(int x, int target) {
    	return dfs(x, target);
    }
};

這裏關於爲什麼 sum * x - re < re 就嚴格代表 sum > re 有待證明，會的人歡迎給出證明

複雜度分析

• 時間複雜度：$O(log_xtar)$，
• 空間複雜度：$O(n)$，