問題：
如何判斷一個給定的整數是否爲2的非負整數次冪？
通常的解法或者需要O(LOGN)的時間開銷；或者通過時間換空間策略，建立一個LOG(MAX)大小的hash table解決限定範圍內數據的判斷問題。我們需要意識到的是，後者事實上是把運行時的運算開銷前置到了編譯期，總的計算成本是一樣的。
前幾天在學習極客時間上吳詠煒老師的《現代C++實戰30講》課程（順便推薦吳詠煒老師的這門C++課程，需要有C++開發經驗）時，發現吳老師在範例代碼中展示了一種非常巧妙的算法：
X & (X - 1) == 0
思考了一下，發現這個算法非常優美且高效。其幾乎接近原子操作，和其他算法O(LogN)的時間開銷比起來判若雲泥。以至於我甚至一度懷疑這兩個命題的等價性。遂嘗試如下證明：
證明 ”X是2的非負整數次冪“ 與 ”X & (X - 1) == 0“ 是等價的；
充分性證明：
已知X是2的正整數次冪；可一般性假設X的二進制可表達爲m位上1，從m-1位到1位共m-1個0；任取Y < X, 可知Y的二進制表達中，第m位必爲0；顯見X & Y == 0; 可推知X & (X - 1) == 0;
必要性證明：
使用反證法。已知X&(X-1) == 0; 假設X不是2的正整數次冪；
則X的二進制表達爲m位上是1，從
易得：
由於
進一步可得:
可推出:
即：
X - 1二進制表達中第m位必定爲1；可推出X & (X - 1) != 0；與已知矛盾，假設條件不成立；
等價性成立。證明完畢。
思考：
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類似的高效等價操作還有：右移操作和➗2；
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針對2的整數次冪存在這樣高效的算法，可以看做是使用二進制計數的紅利。其實對於任意X進制系統中，X的任意整數次冪的判斷是同樣高效的。